18 



C. W. Oseen. 



parallel till x-axeln. Den skär tangenten i punkten i\i (y]), T] i en punkt x" . I denna 

 punkt försvinner U {x, >/ ; i, -q). Då vidare funktionen själv och dess derivator äro 

 kontinuerliga överallt under linjen 1/ = 'q, så kunna vi sätta: 



U{x', y' ; ^, Tj) = [x — x' 



^ U{.x,y'-A,-q] 



h{x' — x") 



[ag"+Hx'-a;")-^(Yi)- 5(Yi)]' , 

 , .T"+e(:.'-:.")-r{;(r;)-S(Yi) ÎT^^^T^ + ^^-^)'^ (-^^f 



(O < 0 < 1) 



om A betyder det i parentesen innehållna uttrycket, muhiplicerat med 2 ('/] — y'). 

 Enligt vårt antagande är ']>"(</) en kontinuerlig fuktion av y. Vi kunna alltså sätta : 



^ (//') = '\ + [y - -^i) 'K (T/) + i - Ti)^ 'K' (T, + 0' [y - 7])) 



(O < 0' < 1) 



och få således : 



Cr(:r',:/;a,ri) =i'K'h + 0'(t/'-r|))]/r|^' A. 



För \A\ kan man lätt angiva en övre gräns, som icke överskrides, om x, y, 

 ^ = f]j (vj) — o (Yj) och -q variera inom de gränser, som här komma ifråga. Likaså 

 existerar för ^{ -\- ^' iy — 'i))! eii övre gräns. Tar man en positiv storhet s, hur 

 liten som hälst, kan man alltså alltid finna ett positivt tal =', sådant, att om 

 q^ — y' < s', |Yj — ■q^ \ < s', Yj > y\ man har: 



\ü[x\ y'\i, ■q) \ < s 



Vidare kan man alltid taga 'q — 'q^\ och således också S (Yj) så små, att på 

 den del av bågen c c, varest Xj, — tj' > s', samma olikhet gäller. Gränsvärdet för 

 U är alltså 0. Om funktionen följer härav, att den i hela området V h c g 



tenderar mot O, när Tj tenderar mot Yj^. 



Vad vidare angår funktionen : 



^{x.y- '\ (Y;) - 3 (Yj), Yj) - e ^ ^"^'^ ^' E (o;, ^; ^ (Yl) + s (yj), -q) 



är det tydligt, att den för alla ifrågakommande värden på x och y konvergerar 

 mot O med S(Yj). Det samma gäller då om funktionen V {x,y\<]^{ri) — S (■/]), yj). 



Vad slutligen beträffar de värden funktionen V [x, y; i,'q) antar, då punkten 

 ^, Tj obegränsat närmar sig den räta linjen fj = y och alltså längden av bågarne 

 b' h och c c samtidigt konvergerar mot O, så är det tillräckligt att anmärka, att de 



I 



