Oni Dirichlets proble)n vid värmeledningsekvationen. 



19 



värden funktionen U skall antaga på h' h och c' c samtidigt tendera mot O, för att det 

 skall vara klart, att funktionen ZT:& gränsvärde är O, och att alltså funktionen V 

 förhåller sig på samma sätt som funktionen E (jr:, 4, Yj). 



6. De i föregående § hevisade satserna sätta oss i stånd att bevisa existensen 

 av en lösning till värmeledningsekvationen, som är regulär i ah c ä och på kon- 

 turen ah c (I antar en föreskriven kontinuerlig värdeföljd. 



Vi betrakta funktionen : 



c 



2 V ^ 



där •/ är en kontinuerlig funktion av x, som försvinner i h och c. Det är till en 

 början klart, att denna funktion av | och -q är en lösning till värmeledningsekva- 

 tionen, som är regulär i det inre av området ab c d och som på b c antar värdena 

 '/_{oc). Om man iakttager, att F (ic, «/^ ; 4, y]) konvergerar likformigt mot O, då i, 7j 

 närmar sig en punkt på a b eller c d, följer vidare, att vår funktion försvinner på 

 dessa kurvbågar. Om ett område av samma form som ab c d är givet, kan man 

 alltså alltid finna en lösning till ekv. A, som är regulär i detta område, försvinner 

 på de båda kurvbågarne och på basen antar en föreskriven kontinuerlig värdeföljd. 

 Men vi kunna gå längre. På grund av förbehållet; 



3 



N 



— be > O 



kan approximationsiBetodeu i § 4 användas utan någon förändring, och man finner 

 alltså, att om på konturen a b c d. föreskrives en kontinuerlig värdeföljd, så finns 

 det en i området ab c d regulär lösning till värmeledningsekvationen, som på den 

 nämnda konturen antar de föreskrivna värdena. 



En användning av den Schwartz-Neumannska sammansmältningsmetoden 

 gör det möjligt att utsträcka detta 

 resultat. Låt oss till en början 

 antaga, att vi ha ett område av 

 samma form som ab cd, men att 

 förbehållet: 



4r— bc > O 

 N 



icke längre gäller. Vi antaga, att 

 linjen a b (se fig. 5) är så liten, att 



man kan finna en punkt b' på b c, pj„ 5 



sådan, att om man genom den drar 



en Hnje parallel med ;/-axeln, den icke skär cd, medan området a b' cd är tillräckligt 

 smalt för att det nyss funna resultatet skall vara tillämpligt. Vi draga då en ny 

 linje a" 6", parallel med a! b' och använda på rektangeln a b' b" a" och området 

 a b' cd den Schwarz-Neumannska metoden. 



