iliÈ (A?, conlc fig 27. Tz. 2. ) en deux parties égales 

 au pointe, ce point ell appelle le centre di ^kyptr- 

 iole. Voyei AxE & Centre. 



La ligne droite D E menée par le fommêt A de 

 Vhyperbole , parallèlement à l'ordonnée, iViw(jz^//re 

 3.0. ) efl tangente à la courbe au point /-'(sy^^ 

 Tangente. 



Si l'on mené , par le fommet A d'une hyperbole, 

 ime ligne droite D E , parallèle aux ordonnées Mm , 

 & égale à l'axe conjugué , c'eil-à-dire dont les 

 parties D A 6c DE loient égales au demi axe 

 conjugué , & qu'on tire du centre C par D 6c E 

 les lignes CG, ces lignes feront les afymp- 



totes de VhypcrboU. /^oje^ Asymptote. 



Le quarré double dw triangle reftangle CIA, 

 c'eft- à-dire, le quarré dont le côté feroit CI o\xIA, 

 cfl: appellé la. paijfancc de VhyperboLe /^oy.^ Puis- 

 sance. 



Propriétés de P hyperbole Dans V hyperbole , les 

 quarrés des demi - ordonnées font l'une à l'au- 

 tre comme les reftangles de l'abfcifle , par une 

 ligne droite compofée de l'abfciffe 6c de l'axe 

 tran'i'verfe ; d'oîi il fuit qu'à mefure que les abf- 

 cilTes augmentent, les rectangles ax , &c par 

 conféqaent les quarrés des demi- ordonnées , 6c 

 les demi-ordonnees elles-mêmes augmenteilt à pro- 

 portion : VhypsrboU s'éloigne donc continuellement 

 de fon axe. 



2°. Le quarré de l'axe conjugué , eft au quarré 

 de l'axe tranverfe, comme le paramètre efl au même 

 axe tranfverfe ; d'où il fuit que, puilque b-.aw PM^ 

 : A P X P B , le quarré de l'axe conjugué eft au 

 quarré du tranfverfe , comme le quarré de la demi- 

 ordonnée eil au reâangle de l'abfciire , par une 

 ligne compofée de l'abicllfe 6c de l'axe tranfverfe. 



-^^ .Décrire une hypubole par un mouvement continu: 

 plantez aux deux points F 6c Z (^fig. z8.) qu'on 

 appelle foyers , deux clous ou deux épingles , 6c at- 

 tachez au point F un fil F O C , 6c l'autre ex- 

 trémité C de ce fil à la règle C Z , en obfervant 

 que le fil C F foit moindre que la longueur de la 

 règle C Z ; enfuite fixant un iliie O au fil , faites 

 mouvoir la règle autour de 2 , ce ftile tracera une 

 hyperbole. Sans avoir recours à cette defcription , 

 on peut trouver autant de points que l'on voudra 

 de V hyperbole , & il ne s'agira plus que de les join- 

 dre. Par exemple , du foyer avec un intervalle 

 Z m plus grand que la li^ne A B , laquelle o\\ fup- 

 pofe être l'axe tranfverfe de l'hyperbole^ décrivez 

 un arc, 6c faires Z b — A B : avec l'intervalle ref- 

 tantiz-zz , décrivez du point i^un autre arc qui cou- 

 pe le premier au point ot, 6c comme Zm — F/7z=: 

 A B, il s'enfuit que m eft un des points de Vhy- 

 perbole , & ainli du refte. 



4°. Si l'on prolonge la demi-ordonnée P M 

 (^Jig.zo. ) d'une hyperbole , jufqu'à ce qu'elle ren- 

 contre l'afymptote en , la différence des quarrés 

 d&P M 6cP R f fera égale au quarré du demi-axe 

 conjugué C d, d'où il fuit qu'à mefure que la 

 demi- ordonnée P M augmente ,1a ligne droite M R 

 diminue, 6c Vhyperbole s'approche toujours de plus 

 en plus de l'afymptote , fans pouvoir jamais la ren- 

 contrer; car , comme P R'^ — P M- =:z D A ^- eH 

 impolTibleque-Pii-— PM^ deviennent jamais =^0. 

 ■ 5°. Dans une hyperbole le reftangîe de M R 6c de 

 iWreft égal à la différence des quarrés P R^ 6c 

 P , d'où il fuit que le même rectangle eft égal au 

 quarré du demi-axe conjugué C d , 6c que tous les 

 reâangles , formés de la même manière , font égaux. 



6°. Lorfque Q Meft pararallele à l'afymptote CG^ 

 le redangle de Q M par C Q , cGl égal à la puiffan- 

 ce de Vhyperbole ; d'où il iuït i"*. qu'en faifant 

 CI = A I=a,CQ=:zx y 6c Q M =j, on aura 

 n'-^xy^, qui eft l'équation de iVr^pcr^o/tf rapportée 

 Tome FUI, 



utrs 



4ù 



à fes afymptote. 1°. Que les afymptotes étatit doa^ 

 nées de pofition , aufii bien que le côté delà puiÀ 

 lance C/ouA 7, fi l'on prend fur l'une des afymp^ 

 totes tel nombre d'abfciffes qu'on voudra , on aura 

 autant de demi-ordonnées , 6c par leur moyen au- 

 tant de points de Vhyperbole qu'on voudra , en trou- 

 vant des troifiemes proportionnelles aux abfciills^ 

 &aucôié de la puiffance C/. 3^, Si l'on neprend 

 point les ablciffes du centre (7, mais de quelqu'a 

 point L , & que l'on fuppole CL=: on aura L 

 b X, 6c par conléquent a^ z::^ b y -\. x y. 



7°. Dans l'hyperbole^ i'ctxe traalverie cff au pa^ 

 rametre comme la fomme de la moitié de 1 a \e tranf- 

 verfe 6c de l'abfciffe eff à la foufnormale ; 6c la fom- 

 me du dcmi-axé tranfverfe 6c de l'abfciffe , eft à 

 l'abiciffe j comme la fomme de l'axe tranfverfe en- 

 tier $i de l'abfciffe à la fous-tangente. Foye^ So¥S- 



normale , 6c SotJS-TANGENTE. 



8°. Si l'on tife au dedans des afymptotes d'une hy- 

 perbole, 6c d'un de fes points m (^figure 2 C). ) déiué. 

 lignes droites II m 6cm K, deux autres L NSlNO 

 parallèles aux précédens ; on aura H m X mK 

 =zLNxON. 



9°. Si l'on tire une ligné droite HK, de telle ma- 

 nière qu'on voudra , entre les afymptotes d'une 

 hyperbole , les fegmens IIE 6c m K com[)ris de 

 chaque côté entre Vhyperbole 6c lés afymptotes , fe- 

 ront égaux- Il fuit de là , û E m = o , que la ligne 

 droite il K fera tangente à Vhyperbole ; par conlé- 

 quentla tangente i-'X) , comprife entre les afymp- 

 totes , eff coupée en deux au point d'atiouchjment 

 K Enfin , le reftangle des fegmens H m 6c m K paral- 

 lèles à la tangente I^is, efl: égal au quarré de la moi- 

 tié de la tangente D V. 



10°. Si par le centre C {fig, J 0.) on tire une ligne 

 droite quelconque C A , par le point A une t.;n- 

 gente E A D terminée aux afymptotes (on appelle 

 la ligne C A demi-diametre tranfverfe') , & une ligne 

 égale & parallèle k E A D, menée par le centre C , 

 elt nommée diamctre conjugué. Or le quarré de la 

 demi-ordonnée P M, parallèle au diamètre conju- 

 gué , eft au reûangle de l'abfciffe par la fomme du 

 diamètre tranfveri'e quelconque A B , Se àe l'abf- 

 ciffe A P , comme le quarré de la moitié du dia- 

 mètre conjugué A D eft au quarré de la moitié 

 du diamètre tranfverfe C A. D'où il fuit qu'en fup- 

 pofant AP = x, P M=zy ,AB — a, DE=zc , on 



AC^X 



aura y'^ =z (^c"^ a x c - x'^'): \ aa =z . -J- 



4 a;^ 



4 — ; & faifant 4 c^: a — b^on aiiray^ = ^Af 



a ^ 



-\-b x^: a. Ainfi la propriété des ordonnées de l'Ay- 

 perbole par rapport à fon axe , a lieu de la même ma- 

 nière par rapport à fes diamètres. 



1 1°. Si l'on tire d'un point quelconque A Se d'un 

 autre point quelconque de Vhyperbole M (^f g. 20.) 

 les lignes A i , MQ parallèles à l'afymptote CG :lù 

 reûangle de MQ par C Q fera égal au reftangle de 

 CVpar lA. Donc fi QC=zx,(lM=:y, CI = a, 

 I A — b : l'équation qui exprime la nature de Vhy- 

 perbole rapportée à fes afymptotes , fera xy=ab. 



I Si l'on prend une des afymptotes , qu'on la 

 divife en parties égales , 6c que par chaque point de 

 toutes ces divifions qui forment autant d'abfciffes 

 qui augmentent fans ceffe également , on mené des 

 ordonnées à la courbe parallèlement à l'autre afym- 

 ptote : les abfciffes repréfenteront une fuite infinie 

 de nombres naturels , & les efpaces hyperboliques 

 ou afymptoîiques correfpondans , la fuite des loga- 

 rithmes des mêmes nombres. Foye^ LOGARJTHME 

 & Logarithmique. 



II fuit delà que différentes hyperboles donneront 

 différentes fuites de logarithnie,s aux mêmes nom- 



Ë e e ly 



