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d'ordonnées àJE, elles exprimeront chacune la 

 diflance oîi la bombe ira tomber , tirée fous l'angle 

 d'inclinaifon formé par l'horifontale ^ X, & par 

 les lignes de projeftion menées de ^ aux difFérens 

 points ou aux ordonnées , rencontrant la demi-cir- 

 conférence -^4 fFE. 



Il réfulte de cette confidération ( Plane. FUI. rf. 

 z.fig. I & 4.), 1°. que le rayon CL étant la plus 

 grande de ces ordonnées , exprime la plus grande 

 diftance A M oii la bombe peut être chaffée par la 

 charge du mortier ; comme l'on a cette amplitude 

 lorfque la ligne de projeûion eù. A Z, qui donne 

 l'angle LA Màe^^ degrés, puifque fa mefure eft la 

 moitié de l'arc A ff-Làe c^o degrés, il s'enfuit que 

 pour avoir la plus grande diftance où la bombe peut 

 aller , il faut que l'angle de projedion foit de 45 de- 

 grés. 



2°. Que comme les ordonnées également diftan- 

 tes du rayon C L perpendiculaire fur A E font éga- 

 les , les inclinaifons A fi, A F également au-deffus & 

 au-deffous de 45 degrés, donnent des amplitudes 

 égales. 



Ainli l'angle de projeâion étant de 30 degrés ou 

 de 60, la bombe ira à la même diftance , parce qu'ils 

 différent également de 45 degrés. 



3^. Comme les ordonnées /, d font les finus 

 des arcs A A f,^ que les angles fA G , f A G 

 ont pour mefure la moitié de ces arcs , les portées 

 A G ,A G égales aux ordonnées d f,d f font en- 

 tr'elles comme les fmus des arcs A /, A f, ou ce 

 qui eft la même chofe, comme les Jinus des angles 

 doubles de Vinclinaifon du mortier. 



Ainfi , lorfque l'angle d'inclinaifon du mortier eft 

 de 15 dégrés, l'arc /eft à 30; mais comme le 

 iinus de cet arc eft la moitié du rayon , la portée de 

 la bombe tirée fous V angle de iS degrés , ejl la moitié 

 de celle quon a fous V angle de 43 degrés. 



Si l'on veut connoître la plus grande hauteur à 

 laquelle la bombe s'éleva fur l'horifontal A X (^fig. 

 I, Plane. Fin. n^. 2.), il faut du point / milieu de 

 A G , élever fur cette ligne la perpendiculaire / R , 

 prolongée jufqu'à ce qu'elle rencontre la ligne d« 

 projedion ^ i^. On fuppofe qu'elle le fait en R. Si 

 l'on coupe enfuite I R tn deux également en /i, ce 

 point fera celui de la plus grande élévation de la 

 bombe , & par conféquent / K fera la hauteur de- 

 mandée. 



Pour le démontrer , confidérez que / R coupant 

 'A G en deux également, coupe de même ^ FenR, 

 & que comme /i? eft la moitié de la ligne de chute 

 FG,I K moitié de /i^ eft le quart de F G. Or le 

 tems que la bombe emploie à parcourir A F par 

 ion mouvement de projeûion, eft double de celui 

 àeAR; mais les efpaces que la pefanîeur lui fait 

 parcourir, font entr'eux comme les quarrés des 

 tems ; donc la ligne de chûte FG q{\. quadruple de 

 R Kou I K ; donc / K exprime la plus grande élé- 

 vation de la bombe fur l'horifontale A X. 



Les principes précédens fuffifent pour la réfolu- 

 tion des dilférens problèmes qui concernent le /et 

 des bombes, lorfque le plan oii elles doivent tom- 

 ber eft de niveau avec la batterie. On peut auffi les 

 appliquer aux plans élevés au deflus de l'horifon , 

 ou inclinés au-deffous, mais d'une manière moins 

 générale , paixe que dans ces deux derniers cas les 

 portées ne font point entr'eiles comme les ftnus des 

 angles doubles de l'inclinaifon du mortier. Nous 

 ferons voir la manière de faire cette application 

 dans les problèmes fuivans ; mais auparavant nous 

 allons donner le moyen de trouver l'angle de pro- 

 je&on qui donne la plus grande portée de la bombe, 

 ion que le plan fur lequel elle doit tomber foit élevé 

 fur Thorilon , ou incliné au-deftbus. 



Soient pour cet effet les figures 2 6" j . Plane» FUI, 



JET 



72". 2. Nous fuppoferons dans la première que le plan 

 A F fur lequel la bombe doit tomber, eft élevé fur 

 l'horifontale.^ Xde zo degrés, & dans la ffeconde, 

 que ^ Z eft au-deffous , de la même quantité. 



Cela pofé , l'arc dont A E la corde , fera de 

 40 degrés plus petit que la demi-circonférence ; car 

 l'angle N A E eft égal k GA X formé par le plan 

 inclinée T, & l'horifontale^ X: or E A N a pour 

 mefure la moitié de l'arc E ; mais cette moitié 

 étant de 20 degrés , par la fuppofition le double E N 

 doit en avoir 40. Si l'on ôte ce nombre de 180 de- 

 grés , valeur de la denii-circonférence , il reftera 

 140 degrés pour l'arc A L E , dont ^ eft la corde. 



La perpendiculaire C L qui coupe la corde E A 

 en deux également, coupe de la même manière l'arc 

 A LE; c'eft pourquoi dans cet exemple l'angle 

 I.^ 6^ de la plus grande portée a pour mefure le 

 quart de 140 degrés, c'eft-à-dire 35 degrés. 



Il eft évident que les angles également au-deffus 

 & au-deffous de cet angle , donneront les mêmes 

 portées , ainft que ceux qui différent également de 

 45 degrés , lorfque le plan fur lequel la bombe doit 

 tomber , eft horifontal ou de niveau avec la batte- 

 rie. 



Si le plan A Z , fig. j , eft au-deffous de l'hori- 

 fontale de 20 degrés , l'arc A L NE en aura 

 180 plus 40 , c'eft-à-dire 220; le quart de ce nom- 

 bre qui eft 5 5 , donnera dans cet exemple l'angîe de 

 projedion de la plus grande portée de la bombe fur 

 AZ. 



Il eft aifé de tirer de-là une règle générale pour 

 avoir l'angle de la plus grande portée de la bombe 

 fur un plan élevé fur l'horifon ou incliné au-deffous 

 d'une quantité connue. 



Dans le premier cas , il faut ôter de 180 degrés 

 le double de l'angle de l'élévation du plan , & pren- 

 dre le quart du refte : dans le fécond , il faut ajouter 

 à 180 degrés le double de l'inclinaifon du plan. Se 

 prendre également le quart de la fomme qui en ré-, 

 fuite ; ou bien il faut dans le premier cas, ôter de 

 45 degrés la moitié de l'angle de l'élévation du^lan, 

 6c ajouter dans le fécond, à 45 degrés la moitié de 

 l'inclinaifon du plan fous l'horifon. 



Problèmes. I. Ayant tiré une bombe fous un 

 angle de projection pris à volonté , & connoiffiant la 

 diflance ou elle aura été tomber fur un plan horifontal, 

 trouver la force du jet. 



Soit (;%. 4. PL FIII. /2°. 2.) l'angle de projeftion 

 FA Y,&lG\q point ou la bombe aura tombé fur le 

 plan horifontal A Y. 



Comme on fuppofe que A G connue , on 

 trouvera par la Trigonométrie F G & AF , cher- 

 chant enfuite une troifieme proportionnelle kFG 

 S)C A F , on aura la force du jet A F, 



Si le plan eft incliné au-deffus ou au-deffous de 

 l'horifon d'une quantité connue G A X, (^fig. S. ) 

 on connoîtra dans le triangle F AG ^ l'angle A G F, 

 qui eft égal k G A P , plus A P G , l'angle de proje- 

 ftion F A G t côté AG ; c'eft pourquoi on 



viendra par la Trigonométrie à la connoiffance des 

 deux autres côtés A F Si FG. 



Si le plan eft incliné au-deffous de l'horifon , (fig, 

 6'. ) on connoîtra l'angle d'inclinaifon XA Z , & par 

 conléquent AGP, qui en eft le complément ; l'an- 

 gle P F formé par l'horifontale A X , Sz la ligne 

 de projedion A Feû. aufïi connue. Donc G A F qui 

 eft égal k GA P , plus PA F,Iq fera également ; or 

 comme le côté A G eft fuppofé connu , on connoît 

 dans le inangle GAFim côté &c les angles; c'eft 

 pourquoi on peut par la Trigonométrie venir à la 

 connoiffance des deux autres côtés G F &C A F. 



Les lignes de chûte & de projeftion, Çfig. 5. & 

 C. ) étant connues, on leur cherchera une troifieme 

 proportionnelle, qui fera la force du jet E A^ 



