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pays , dit M. de Thou , qui exprima affez heureufe- 

 ment en vers latins la majellédes pfeaumes de Da- 

 vid , & il invita par fon exemple , François Spinola 

 à prétendre à la même gloire. Il mourut jeune dans 

 la bienveillance du Cardinal Farnefc ôcdu Cardmal 



Polus en 1550. , 1 , M • -r 



Tartagny (Alexandre) étoit un des habiles junl- 

 confultes de Ion fiecle ; on le nommoit alors en Ita- 

 lie le monarque du droit ; fes confcils , les traités fur 

 les clémentines , fur le texte des décrétâtes , & fes 

 autres ouvrages qu'on ne lit plus aujourd'hui, ont 

 été fouvent imprimés, comme à Venife en , 

 à Francfort en 1575 , à Lyon en 1585 , fi-c. Il mou- 

 rut à Bologne en 1487 âgé de cinquante-trois ans. 



Valfalva (Antoine Marie) mort en 171 3 à cin- 

 quante-fept ans , fut difciple de Malpighi & s eft 

 diftingué par fon excellent traité de aurc humana^, 

 dont la meilleure édition eft Bonom<z 1704, in-4°. 

 avec figures. {D. J ) 



I. IMPAIR , adj. {Arith.) c'eft ainfi qu on nomme 

 par oppofition à pair, un nombre qui ne le peut exac- 

 tement divifer par 2. . , 



1. Tout nombre impair eft efTentiellement termine 

 vers la droite par un chiffre impair , &c c'eft de ce 

 chiffre feul qu'il prend ion nom ; car ceux qui pré- 

 cèdent étant tous des multiples de 10 = 2 X 5 » ^^"^ 

 conféquemment divifibles par 2 ; &: jufques-là le 

 nombre refte pair. 



3. Il eft évident que l'obftacle qui fe rencontre à 

 la divifion exafte d'un chiffre fimple par 2 , ne réfide 

 que dans une unité qui s'y trouve de trop ou de trop 

 peu. Tout chiffre impair devient donc pair par 1 addi- 

 tion ou la fouftraaion de l'unité , & par une fuite 

 (/2°. 2.) le nombre même qu'il termine. 



4. Un impair étant combiné avec un autre nom- 

 bre quelconque ^. ^ ^. , r 



Si c'eft par addition ou par fouflraction , la lomme 

 ou la différence font d'un nom différent de celui de b. 



Si c'eft par multiplication ou par divifion (on fup- 

 pofc celle-ci exade) , le produit ou le quotient font 

 de même nom que h. 



S'il s'agit ^exaltation ou ^'extraction , une racine 

 exprimée par un nombre impair donne une puiffance 

 de même nom, & réciproquement. 



5. Telles font les principales propriétés du nom- 

 bre impair ^ns en général ; mais le caprice & la fu- 

 perftition lui en ont attribué d'autres bien plus im- 

 portantes. Il fut en grande vénération dans l'antiquité 

 payenne. On le croyoit par préférence agréable à la 

 divinité : numéro Deus imparc gaudet. C'eft en nom- 

 bre impair que le rituel magique prefcrivoit fes plus 

 myftérieufes opérations ; necîe tribus nodis tcrnos , &c. 



■ Il n'étoit pas non plus indifférent dans l'art de la Di- 

 vination ni des augures. Ne s'eft-il pas afl"ujetti juf- 

 qu'à la Médecine ? L'année climaciérique eft dans la 

 vie humaine une année impaire ; entre les jours cri- 

 tiques d'une maladie (vc»y£^ Crise) , les impairs font 

 les jours dominans , foit par leur nombre, foit par 

 leur énergie. Au refte , en rejettant ce qu'il y a de 

 chimérique dans la plupart de ces attributions , nous 

 21e laiffons pas de reconnoître en certains /OT/^^ir^ des 

 propriétés très-réelles , mais numériques , c'eft-à- 

 dire du crenre qui leur convient ; & nous en ferons 

 înention''dans leur article particulier, t^oye^ entre 

 '^autres Neuf & Onze. 



6. Si l'on conçoit les nombres impairs rangés par 

 ordre à la iu.te l'un de l'autre , il réfulte une pro- 

 greftion arithmétique indéfinie , dont le premier ter- 

 5ie eft I , & la différence 2 : c'eft ce qu'on nomme 

 la fuite dci impairs. 



Cette fuite a une propriété remarquable relative 

 à la formation des puiflances ; mais qui n'a jufque 

 ^ci, du-jnoins que uous lâchions , été connue ni de- 



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veloppée qu'en partie. La voici dans toute fon éten- 

 due. . 



7. A toute puiffance numérique d'une racine r & 

 d'un expofant e quelconques , répond dans la fuite 

 générale des impairs unQ fuite fubalterne des termes 

 confécutifs , dont la fomme eft cette puiffance même. 



Il s'agit d'en déterminer généralement le premier 

 terme , & le nombre des termes n. 



8. A l'égard des puiffanccs d'un expnfant pair ^ la. 

 chofe a déjà été exécutée. On s'eft apperçu que le 

 premier terme de la progrefîion fubalterne ne dif- 

 fère point de celui de la fuite principale , & que le 

 nombre des termes eft exprimé par la racine féconde 

 de la puiffance cherchée; c'eft- à- dire que pour ce 



cas-là . . p==i. 



Faut-il élever 5 à la quatrième puiffan- 

 ce, on a .... . n=ir- 



p =z I 1 dernier terme 49 , fomme des extrêmes 50; 



^ ^ y 



fomme totale 625 = 5'*. 



9. Quant aux puiffances d'un expofant impair , il 

 n'a julqu ici rien été déterminé. Le premier terme de 

 la progrefîion fubalterne dont elles font la fom- 

 me , eft enfoncé plus ou moins dans la profondeur 

 de la fuite principale : mais il en fera toujours tiré 

 & comme montré au doigt p ar cette for- 



mule, /» = r- I X/-iiL-l-i. 



ôc le nombre des termes par cet autre ;z=r îzi. 



S'agit-ii d'élever 3 à la feptieme puiffance ; on 

 trouve 



r dernier term& 107 ; fomme 



;; = 2X27+I=55,, . 

 ^ ^ des extr. 162 ; fomme to- 



n = ijl taie 2187= 37. 



10. Les chofes confidérées fous ce point de vue; 

 élever une racine quelconque à une puiffance don- 

 née , ce n'eft que chercher la fomme d'une progref- 

 fion arithmétique , dont , avec la différence conftante 

 2 , on connoît le premier terme & le nombre des 

 termes (variables l'un U l'autre , mais déterminés 

 par les formules.) 



Pour faciliter l'opération ; comme en toute pro- 

 grefTion arithmétique qui a 2 pour différence (r yye^ 

 Progression arithmétique.) , la fomme eft 



'^yif^^T^i X = p-\-n-i X en fubftituant au 



lieu de & de «"^leurs valeurs indiquées par les for- 

 mules, le réf ultat fera la puiflance demandée. 



5j^-_i^^ + 7z-iX«fe réduit knxn = n^z 

 mais (n°. 8.) quand l'expofant eft pair, on a/= i. 

 Donc quand l'expofant eft pair , la fomme de la pro- 

 greflion fubalterne (égale à la puifl'ance cherchée) 

 eft le quarré du nombre même de fes termes, 

 ' En effet , dans le premier exemple ci-deft,us; 



=15^ = 625= 5 ^ . , . j 



1 1 . Il n'eft pas befoin de faire obferver que quand 

 r- ou r— (qui expriment le nombre des termes) , 

 font des puift-ances elles-mêmes trop élevées , on 

 neut les former par la même méthode, & rabaifî^er 

 tant qu'on voudra de l'un en l'autre l'expofant de r, 

 jufqu'à le réduire à l'unité. 



1 2 Au refte il eft facile de rappeller les puiffan- 

 ces de l'une & de Tautre clafî"e à une formule com- 

 mune , qui aura même fur celles qu'on vient de voir, 

 cet avantage, qu'outre la folution de tous les cas 

 pofnbles , elle donnera de plus toutes les folutions 

 pofT.bies de chaque cas. (Car des que^ > 3 , le 

 problème devient indétermme ; c eft-a dire qu il y a 

 dans la fuhe générale des impairs plufieurs luîtes 

 fubalternes, dont la fomme eft la puiflanee cher- 

 chée). 



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