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ce mot en Géométrie ces éléraens infiniment petits , 

 ou ces principes dans Icfquels un corps ou une figure 

 quelconque peut être rélblue en dernier reflbrt , fé- 

 lon l'imagination de quelques Géomètres modernes. 

 Voyei Infini. 



Ils prétendent qu'une ligne efl compofée de points, 

 ime furface de lignes parallèles , & un folide de fur- 

 faces parallèles & femblables ; &, comme ils fuppo- 

 fent que chacun de ces élémens eft indivijibk ^ fi , 

 dans une figure quelconque , l'on tire une ligne 

 qui traverfe ©es élémens perpendiculairement, le 

 nombre des points de cette ligne fera le même que 

 le nombre des élémens de la figure propofée. 



Suivant cette idée , ils concluent qu'un parallélo- 

 gramme , im prifme , un cylindre , peut fe réfoudre 

 en élémens ou indiviJibLes , tous égaux entre eux , 

 parallèles & femblables à la bafe ; que pareillement 

 un triangle peut fe réfoudre en lignes parallèles à 

 fa bafe , mais décroilTantes en proportion arithméti- 

 que , & ainfi du refte. 



On peut aufli réfoudre un cylindre en furfaces 

 courbes cylindriques de même hauteur , mais qui 

 décroiffent continuellement à mefure qu'elles ap- 

 prochent de l'axe du cylindre , ainfi que le font les 

 cercles de la bafe fur laquelle s'appuient ces furfa- 

 ces courbes. 



Cette manière de confidérer les grandeurs s'ap- 

 pelle la Méthode des indivifibUs , qui n'efl au fond 

 que l'ancienne méthode d'exhauflion déguifée , & 

 dont on prend les conclufions comme principes fans 

 fe donner la peine de les démontrer ; car toutes les 

 raifons que les partifans des indivifibUs ont imagi- 

 nées pour établir Leurs élémens , font de purs paralo- 

 gifmes ou des pétitions de principe , enforte que 

 l'on eft abfolument obligé de recourir à la méthode 

 d'exhaulHon pour démontrer à la rigueur les prin- 

 cipes des Indivifibilijîes ; d'où il fuit que leur métho- 

 de n'en eft point une nouvelle , puifqu'elle a befoin 

 d'une autre pour être démontrée , ainfi que nous le 

 verrons bientôt quand nous aurons donné un exem- 

 ple de la manière de procéder dans une démonflra- 

 tion de Géométrie par la prétendue méthode des 



indivifibUs. FbjV^;^ EXHAUSTION. 



Ce qui a gagné des partifans aux indivifibUs , c'efl 

 que par leur moyen on abrège merveilleufement les 

 démonfîrations mathématiques ; on peut en voir un 

 exemple -dans le fameux théorème d'Archimede , 

 c^uum fphre cji Us deux tiers du cylindre qui lui eji cir- 

 confcrit. 



Suppofons un cylindre , une demi - fphere , & un 

 cône renverfé ( PL de Géom.fig. c)C).^ ^ tous de mê- 

 me bafe & de même hauteur , ôc coupés par un 

 nombre infini de plans parallèles à la bafe , & que 

 d g foit un de ces plans ; il efl évident qu'en quel- 

 qu'endroit qu'on la prenne , le quarré dedh fera égal 

 au quarré du rayon de la fphere, que- le quarré e A 

 le quarré ch j ainfi , puifque les cercles font entr'eux 

 comme les quarrés de leurs rayons , & que l'on 

 trouvera par-tout que le quarré àe ck ou de hd, 

 rayon du cylindre , égale la fomme des quarrés de 

 hk èc ch ou eh rayons de la demi - fphere & du cô- 

 ne, on voit que le cercle du rayon du cylindre vaut 

 la fomme des cercles correfpondans des rayons de 

 la demi - fphere & du cône , par conféquent tous les 

 cercles qui compofent le cylindre , c'ef^:-à-dire tout 

 le cylindre efl égal à la fomme des cercles qui conf- 

 tituent la demi -fphere & le cône , c'efl-à-dire que 

 le cylindre efl égal à la fomme de la demi -fphere 

 & du cône, ainfi le cylindre moins le cône vaut la 

 demi -fphere; mais on fait d'ailleurs que le cône 

 n'efl que le tiers du cylindre , donc les deux autres 

 tiers du cylindre font égaux à la demi - fphere ; & 

 prenant le cylijidre total & la fphere entière , on 



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voit évidemment qu'une fphere efl les deux tiers du 

 cylindre qui lui efl circonfcrit. 



Il faut avouer qu'il n'y a rien de plus aifé ni de 

 plus élégant que cette démonflration ; c'efl domma- 

 ge qu'elle ait befoin elle-même d'une autre démonf- 

 tration , ainfi qu'on le trouve prouvé d'une manière 

 invincible ( & à laquelle les Géomètres qui y avoient 

 le plus d'intérêt n'ont ofé répliquer ) dans un ou- 

 vrage intitulé infiitutions de Géométrie, &c. imprimé 

 à Paris chez Debure l'aîné en 1746 , en 2 vol. 

 voici ce qu'on lit à ce (u]Qtpag. j Oj) du fécond tome : 

 « La feule manière dont on pourroit concevoir que 

 » des furfaces viendroient à compofer un folide , 

 » c'efl qu'elles fufTent pofées immédiatement les unes 

 » fur les autres : or il efl impoffible de difpofer de 

 » cette façon plus de deux furfaces. Prenez-en trois; 

 » mettez l'une des trois entre les deux autres , celle 

 » du milieu touchera l'inférieure par-defTous , & la 

 » fupérieure par-defTus : elle fera donc compofée de 

 deux furfaces , qui auront entre elles quelque dif- 

 » tance ; mais deux furfaces attachées enfemble qui 

 » laifTent entre elles quelque diflance compofent un 

 » vrai folide , en regardant comme un tout ces fur- 

 » faces & la diflance qui les fépare. On a donc fup- 

 » pofé l'impofîible quand on a demandé que l'on mît 

 » une furface immédiatement entre deux furfaces r 

 » or, fi l'on ne peut pas mettre une furface immé- 

 » diatement entre deux furfaces , on n'en pourra ja- 

 » mais faire réfulter un folide, qui n'efl autre chofe, 

 » ainfi que le prétendent les Indivifibilifies , qu'un 

 » affemblage de furfaces pofées immédiatement les 

 » unes fur les autres ». 



Cependant malgré cette abfurdité & bien d'au- 

 tres, que l'on peut voir dans l'ouvrage même, « les 

 >> Indivifibilifies ne fe rendent pas , pourfuit l'auteur ; 

 » au lieu de tranches fuperficielles , avec lefquelles 

 » nous prétendons engendrer ou confiituer les foli- 

 » des , vous n'ayez qu'à fuppofer , difent - ils , des 

 » folides d'une épaiffeur infiniment petite , & vous 

 » ferez pleinement fatisfaits , car des folides pour- 

 » ront apparemment compofer un folide. 



» Depuis cette réponfe il paroît que l'on n'a plus 

 » inquiété les partifans des indivifibUs, & que leurs 

 » principes ont acquis toute l'autorité des premiers 

 » axiomes. Cette autorité s'eft d'autant' plus forti- 

 >y fiée , que les indivifibUs aboutiffent à des conclu- 

 » fions qui font démontrées à la rigueur par des 

 » voies inconteflables. Un rapport fi jufle pourroit- 

 » il être la produâion d'un faux principe » ? 



Reprenons la méthode des Indivifibilifies. Quand 

 ils veulent démontrer , par exemple , que les pyra- 

 mides de même bafe & de même hauteur font éga- 

 les , ils imaginent que ces pyramides foieht coupées 

 par un nombre infini de plans parallèles à leur ba- 

 fe , & comme le nombre de ces plans efl mefuré par 

 la perpendiculaire qui défîgne leur hauteur commu- 

 ne , il s'enfuit que « ces pyramides ont un même 

 » nombre de coupes ou de tranches ; on l'accorde. 

 » Il efl: démontré géométriquement que toutes les 

 » tranches de l'une font égales à toutes les tranches 

 » de l'autre , chacune à fa correfpondante ; on en 

 » convient encore : or les pyramides font compo- 

 » fées de ces tranches. Il efl: bon de s'expliquer : 

 » font- ce des tranehes fuperficielles , c'efl-à-dire , 

 » ces tranches ne font-elles que des furfaces ? les dé- 

 » fenfeurs des indivifibUs en ont reconnu l'impoffî- 

 » bilité. Il faut donc que ce foient des tranches fo- 

 » lides qui compofent les pyramides ; ainfi il refle à 

 » démontrer que ces tranches folides font égales , 

 » chacune à fa correfpondante : les Indivifibilifies le 

 » fuppofent. Leur démonflration efl: donc une péti- 

 » tion de principe. 



» A la vérité ils prouvent à la rigueur que les 

 » bafes entre lefquelles font ççmprifes les tranches 



