î N F 



tes hommes ayant l'idée de V infini , l'ont appliquée 

 id'une manière impropre & contraire à cette idée 

 même à tous les êtres auxquels ils n'ont voulu don- 

 ner aucune borne dans leur genre ; mais ils n'ont 

 pas pris garde que tout genre eft lui-même une 

 borne, & que toute diviûbilité étant une imperfec- 

 tion qui eft aulîi une borne vifible , elle exclut le 

 véritable infini qui eft un être fans bornes dans fa 

 perfection. 



L'être , l'unité , la vérité , & la bonté font la même 

 chofe, Ainfi tout ce qui eft un t-tre infini eft infini- 

 ment un , infiniment vrai , infiniment bon. Donc il 

 eft infiniment parfait & indivifible. 



De-Ià je conclus qu'il n'y a rien de plus faux 

 qu'un infini imparfait , & par conféquent borné ; 

 rien de plus faux qu'un infini qui n'eft pas infiniment 

 un ; rien de plus faux qu'un infini divifiblô en plu- 

 fieurs parties ou finies ou infinies. Ces chimériques 

 infinis peuvent être grofîierement imaginés , mais 

 jamais conçus. 



Il ne peut pas même y avoir deux infinis ; car les 

 deux mis enlemble feroient fans doute plus grands 

 que chacun d'eux pris féparément , & par conféquent 

 ni l'un ni l'autre ne feroit véritablement infini. 



De plus, la colledion de ces deux infinis feroit 

 divifible , & par conféquent imparfaite , au lieu que 

 chacun des deux feroit indivifible & parfait en foi; 

 ainfi un feul infini feroit plus parfait que les deux 

 enfemble. Si au contraire on v ou! oit fuppofer que 

 les deux joints enfemble feroient plus parfaits que 

 chacun des deux pris féparément , il s'enfuivroit 

 qu'on les dégraderoit en les féparant. 



Ma conclufion eft qu'on ne fauroit concevoir 

 qu'un feul infini fouverainement un, vrai & par- 

 fait. 



Infini , ( Giomet. ) Géométrie de Vinfini ^ eft pro- 

 prement la nouvelle Géométrie des infinimens pe- 

 tits, contenant les règles du calcul différentiel & in- 

 tégral. M. de Fontenelle a donné au public en 1727 

 im ouvrage , intitulé Elémens de la Gcométris de Vin- 

 fini. L'auteur s'y propofe de donner la métaphyfique 

 de cette géométrie, & de déduire de cette métaphy- 

 fique , fans employer prefque aucun calcul , la plu- 

 part des propriétés des courbes. Quelques géomè- 

 tres ont écrit contre les principes de cet ouvrage ; 

 voyei^ le fécond volume du Traité des fluxions de M. 

 Maclaurin. Cet auteur attaque dans une note le prin- 

 cipe fondamental de l'ouvrage de M. de Fontenelle ; 

 roye;^ auffi la. Préface de la traduction de la méthode des 

 fluxions de Newton , par M. de Buffon. 



M. de Fontenelle paroît avoir cru que le calcul 

 différentiel fuppofoit néçeffairement des quantités 

 infiniment grandes aduelles ^ & des quantités infini- 

 ment petites. Perfuadé de ce principe , il a cru de- 

 voir étabhr à la tête de fon livre qu'on pouvoir tou- 

 jours fuppofer la grandeur augmentée ou diminuée 

 réellement à ri/?/«z5& cette propofitioneft le fonde- 

 ment de tout l'ouvrage ; c'eft elle queM.Maclaurina 

 cru devoir attaquer dans le traité dont nous avons 

 parlé plus haut: voici le raifonnement de M. de Fon- 

 tenelle , & ce qu'il nous femble qu'on y peut oppo- 

 fer. « La grandeur étant fufceptible d'augmentation 

 » fans fin , il s'enfuit , dit il , qu'on peut la fuppofer 

 « réellement augmentée fans fin ; car il eft impofii- 

 » ble que la grandeur fufceptible d'augmentation 

 » fans fin foit dans le même cas que fi elle n'en étoit 

 » pas fufceptible fans fin. Or , fi elle n'en étoit pas 

 » fufceptible fans fin , elle demeureroit toujours fi- 

 » nie ; donc la propriété effentielle qui diftingue la 

 » grandeur fufceptible d'augmentation fans fin de 

 » la grandeur qui n'en eft pas fufceptible fans fin , 

 » c'eft que cette dernière demeure néçeffairement 

 » toûjours finie, & ne peut jamais être fuppofée que 

 » finie ; donc la première de ces deux efpeces de 



î N F yo| 



V» grandeurs peut être fuppofée a^ueilemeiit infinie >k 

 La réponie à cet argument eft qu'une grandeur qui 

 n'eft pas fufceptible d'augmentation fans fin , non- 

 feulement demeure toiijours finie , mais ne fauroit 

 jamais paffer une certame grandeur finie ; au heu 

 que la grandeur fufceptible d'augmentation fans fin , 

 demeure toûjours finie , mais peut être augmentée 

 jufqu'à furpaffer telle grandeur finie que l'on veut. 

 Ce n'eft donc point la poffibiîité de devenir infinie , 

 mais la poffibiîité de lurpaffer telle grandeur finie 

 que l'on veut ( en demeurant cependant toûjours fi- 

 nie ) qui diftingue la grandeur fui'ceptible d'augmen- 

 tation ians fin , d'avec la grandeur qui n'en eft pas 

 fufceptible. Si l'on réduifoit le raifonnement de M, 

 de Fontenelle en fyliogifme , on verroit que l'ex- 

 prefiîon ncfi pas dans le même cas qui en feroit le 

 moyen terme , eft une expreffion vague qui préfente 

 plufieurs fens diftërens , & qu'ainfi ce fyllogifme 

 pechc contre la règle qui veut que le moyen terme 

 lOlt un. Foys-i l'article DIFFÉRENTIEL , où l'on 

 prouve que le calcul différentiel, ou la géométrie 

 nouvelle , ne luppofe point à la rigueur 6c véiita- 

 bkment de grandeurs quifoient attueliement infinies 

 ou infiniment petites. 



La quantité infinie eft proprement celle qui eil 

 plus grande que toute grandeur affignable ; & com- 

 me il n'exifte pas de telle quantité dans la nature , il 

 s'enfuit que la quantiré infinie n'eft proprement que 

 dans notre eij^nt , bc n'exifte dans notre efprit que 

 par une efpece d'abftraûion , dans laquelle nous 

 écartons l'idée de bornes. L'idée que nous avons dé 

 Vinfini eft donc abfolument négative , & provient de 

 l'idée du fini, & le mot même négatif à'infini le 

 prouve. Koyei'Çim. Il y a cette différence entre //z- 

 fini ôc indéfini , que dans l'idée d'infini on fait abftrac- 

 tion de toutes bornes ^ & que dans celle d'indéfini on. 

 fait abftradion de telle ou telle borne en particuUer. 

 Ligne infinie eft celle qu'on fuppofe n'avoir point 

 de bornes ; ligne indéfinie eft celle qu'on fuppole 1© 

 terminer oii l'on voudra , fans que fa longueur ni 

 par conféquent fes bornes foient fixées. 



On admet en Géométrie , du moins par la manière 

 de s'exprimer , des quantités infiMÏes du fécond , du 

 troifieme , du quatrième ordre i par exemple, on dit 



que dans l'équation d'une parabole y — — ^ {\ en 



prend x infinie , y fera infinie du fécond ordre , c'eft- 

 à-dire aufli infinie par rapport à "^infinie x , que rîrl'eft 

 elle-même par rapport à«. Cette manière de s'expri- 

 mer n'eft pas fort claire ; car î\ x eft infinie^ cOmment 

 concevoir que y eft infiniment plus grande ? voici la 



réponie. L'équation y = ~ repréfente celle-ci 



qui fait voir que .le rapport dej à x va toûjours en 

 augmentant à mefure que x croît , enforte que l'on 

 peut prendre x fi grand , que le rapport de j à x foit 

 plus grand qu'aucune quantité donnée : voilà tout 

 ce qu'on veut dire , quand on dit que x étant infini 

 du premier ordre, y l'eft du fécond. Cet exemple 

 fimple fufiira pour faire entendre les autres. F'oye^ 

 Infiniment petit. 



Arithmétique des infinis , eft le nom donné par M. 

 Wallis à la méthode de fommer les fuites qui ont un 

 nombre infini de termes. J^oye:^ Suite ou Série 6* 

 Géométrie. (O) 



Infiniment petit , ( G^^'o/k. ) on appelle ainfi 

 en Géométrie les quantités qu'on regarde comme 

 plus petites que toute grandeur afiîgnable. Nous 

 avons afiez expliqué au mot Différentiel ce 

 que c'eft que ces prétendues quantités , & nous avons 

 prouvé qu'elles n'exiftent réellement ni dans la na- 

 ture , ni dans les l'uppofitions des Géomètres. Il nous 

 refte à dire un mot des infinimens petits de différens 



y vvv. 



