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deux parties ; Tune connut , c'eft Vimirêt du capital 

 entier fur Je pié du denier donné ; l'autre inconnue, 

 c'eft une cerraine portion du capital qu'il faut pren- 

 dre pour completter le payement. Le capital étant 

 écorné par le premier payement, Y intérêt lera moins 

 fort la féconde année , & conféquemment (vu l'éga- 

 lité des payemens ) la portion qu'on prendra fur le 

 capital fera plus grande , & ainfi de fuite d'année en 

 année. Ce qui donne deux fuites, l'une décroiffante 

 pour les intérêts , l'autre croiiTanîe pour les dlverfes 

 portions du capital , je m'attache à celle,-ci ; & pour 

 découvrir la loi qui y régne , je nomme jK> x , 

 &c. dans It même, ordre, les portions du capital co'm- 

 pétantes aux premier, fécond, troifieme, &c. paye- 

 mens, de forte que ^-\-y + ^ + = a. 

 Le premier payement fera . . . . ±i + 



d 



Le fécond 



y ' 



Le troifieme 

 &c. 



a 1— z — y i 



+ X, 



14. Comme ces payemens font fuppofés égaux, 

 on en peut former diverfes équations , comparant 

 le premier avec le fécond, celui-ci avec le troi- 

 lieme , &c. 



La première équation fait trouver . . . jk = ^ X — - 



■yx — — , 



a. 



OU 



La féconde . . . . x 



(fubftituant au lieu dej fa valeur). . ;f := 7 x —^1 



Ce qui fuffit pour donner à connoître que la fuite en 

 queftion eft une progreffion géométrique, dont l'ex- 

 pofant eil ~ = p: S>c dès-là le problème eft réfo- 



lu ; car des cii>q élémens qui entrent en toute pro- 

 greffion géométrique, ( Foyei Progression) trois 

 pris comme on voudra étant connus , donnent les 

 deux autres- Or on connoît ici la fomme ^z, le nom- 

 bre des termes n , 6c l'expoiant p : on connoîtra 

 donc les deux autres, & nommément le premier 

 terme dont il s'agit ici principalement ... il fera a 



X "TZ^ j à quoi ajoutant V intérêt du capital entier 



qui eft ^ X — I , on aura r =:ax 'prrj + /' ~ ^ 5 

 ou ( réduifant tout au dénominateur p" — 1^ r = a 



P" 



Mais comme cette expreffion de la 



valeur de r exige dans l'application des rédudions 

 pénibles , au lieu de p remettant qui lui eft 

 égal, naît une nouvelle formule qui a cela de com- 

 mode, que toute les réductions y font faites d'avan- 

 ce , & qu'il n'y a qu'à fubftituer. On la voit ci-def- 

 fous avec celles qui en dérivent d'une part , & vis- 

 à-vis les mêmes par les logarithmes. 



M- 



a i 



= X 



..log. /- = Iog. <z-|-log. i 



d + i - d 



►flog. X n^log.d — log. d-\-i —d". 



dr d + i - d" 



X 



d + i 



— ..log. a=z\og.d-{-\oo,r 



log, d-\- i — d — log. i — log. d-^-i X n. 



\o^.dr - log. a ^ - ai 

 log. à + i 



Envain reffafferoit-on ces formules pour en tirer 



une qui donnât direûement la valeur de ~- ou 



I N T 



821 



de p i on fe trouve néceifairement renvoyé à une 

 équation du degré n. 



16. Comme { ( ou la portion du capital qui en- 

 tre dans le premier payement) eft la feule vraie in- 

 connue de cette queftion ; fi on veut l'avoir directe- 

 ment, de l'équation ci-defTus {-f-jy 4-^+ Sic. = <j 

 ( après avoir préalablement réduit tout en ^ ) on 



tirera généralement 



a. X 



n— i 



«-3 2. 



d + i + d X d+ i 



72- l' 



d+i 



C'eft-à-dire que pour avoir {, il faut multiplier a 

 par une fraftion dont le numérateur étant d"~\ le 

 dénominateur cfl: la fomme des produits des puif- 



fances fucceffives de d depuis l'expofant n—i juf- 

 qu'à l'expofant o inclufivement) multipliées terme 

 à terme , mais dans un ordre, renverfé^ par les puifTan- 



ces pareilles de d . 



17. Remarquez que cette dernière formule n'eft 

 la formule particulière de jj; ( premier & plus petit 

 terme de la progrefTion que forment entr'elles les di- 

 verfes portions du capital ) que parce qu'on a pris 

 pour numérateur de la fradlion le premier & plus pe- 

 tit terme du dénominateur, fa voir ^f Si , ( laif- 

 fant d'ailleurs tout le relie du fécond membre dans le 

 même état) on eût pris pour numérateur le fécond 



terme du dénominateur, fçavoir d'^~- X + i , on eût 

 eu la formule dey ; celle de ;c , fi on eût pris le troi- 

 fieme , &c. En un mot , la formule donnera la valeur 

 du terme de la progreffion correfpondant (quant au 

 rang ) à celui du dénominateur qu'on aura pris pour, 

 numérateur de la fraction. . . Cette remarque trou- 

 vera plus bas fon application. 



18. Exemple, Que la fomme prêtée foit 10000 li- 

 vres , V intérêt à 4 pour ^ , & qu'il y ait 4 payemens 

 égaux. 1 



a = 10000 livres. 

 Faifant ^= ^oo^^ ^ ^f^^ftituant.' 

 „ _ , on trouvera 



7Z — 4 



1°. Par la formule du N°. 1 5 ) 



-JL2.?°° V ^'^é^lA T 8 a 7 9 o 4 o o 



— A — - ' - — 



<S 6 3 5 ' 



66i 5 1 



Par celle duN°. 16 



= lOOOO X 



_____ I î 67^oo o» 



1 5615 + 15150 + lÊ^oo + 1757^ 66351 



5 9746 



6 6 5) . • 



=:i3 54 liv. 



'Ajoutant 400 liv. pour V intérêt de la i" année, on 



a comme ci-devant . . . r = 2754 liv. H-j-ff. 

 3^. Par les logarithmes ) celui de r fe trouve 

 3.4401058 : or le nombre qui répond à ce logarith- 

 me eft entre 2754 & 2755 , beaucoup plus près de 

 ce dernier. 



19. Dans la queftion qu'on vient de réfoudre ( le 

 capital , V intérêt, le nombre & les termes des paye- 

 mens reftant d'ailleurs les mêmes ) fi l'on fuppofoit 

 que la dette originaire ne fût exigible que dans un 

 an , au lieu de l'être actuellement, comme on l'avoit 

 fuppofé N°. Il : quel feroit alors chaque payement 

 égal ? 



Ce qui rend l'efpece du cas préfent différente de 

 celle du précédent ; c'eft que le premier payement 

 fe faifant au même terme que la dette originaire 

 eût dû être payée , n'eit point fujet à intérêts , & 

 fera pris en entier fur le capital. Procédant d'ailleurs 

 comme ci deffus , on retrouve encore entre les di- 

 verfes portions du capital {, y , , &c. la progref- 

 fion géométrique dont l'expofant efl avec 

 cette différence que ^ ( qui en étoit là le premier &; 

 plus petit terme , parce qu'il étoit joint au plus fort 

 intérêt ) en eft au contraire ici le dernier %l plus 



