'Certaine condition, diftérente de ce fujét eftvifagè 

 plus abftraitement. IJ ;'y a donc trois parties très- 

 diftinéles dans l'énoncé Ûq toute vérité mathémati- 

 que i lQ faJccqm eû. un être exprimé d'une manière 

 tro^ univerléile poiil: que i'attribitt de la propoli- 

 tion puifTe lui convenir dans tous les cas poffibies; 

 mais auquel il ne manque pour cet effet que <l'êire 

 rendu plus j)articulief pàr une feule qualité déter^ 

 jninante -: Vkypotlûfe^ pzx où l'bn doit entendre cette 

 condition qui manquoit ati fujet; & la tkïfe enfin , 

 lou,|ia qualité qu'on affure convenir aû fujet dès que 

 /î'hypQthèfe l'a rendu àlTez particulier pour cela. 



Qu'il me foit permis d'illuftrer cette fous-divifion 

 ^*que j'exige dans la première partie de toute propo- 

 fition, par l'exemple de celle que mcîtent les Méîa- 

 phyfiçiens dans la caufe complète de tout effet. Un 

 '■effet eft toiïiours exaâement lîmultané à l'a caufe 

 complète , c'ell:- à-dire â la collection de tout ce qui 

 «fl: requis pour qu'il parvienne à l'exifknce : & Il 

 l'on a accoutumé de regarder l'effet comme pofié- 

 rieur à fa caufe, c'ell parce qu'on entend commu- 

 nément par ce dernier terme, une caufe incomplète, 

 •^ laquelle il manque encore, pour être accompa- 

 gnée de fon effet , une qualité qu'on nomme condi- 

 ".tïon 3 Qwoccajion, & qu'on diftingue expreffément 

 du reiîe. Cette cpmparaifon eil: d'autant plus légi- 

 time, que, même dans la Géométrie ^ dont les ob- 

 jets. font des quantités co-exifléntes, on ell: enufage 

 . de commencer fouvent l'hypothèfe des théorèmes 

 p'ar des adverbes de tems , tels que ceux-ci , quand , 

 ,p\x lorfquc ; 8>c de mettre quelquefois la thèfe au fu- 

 %nv ^ alors on aura f ^C. 



Maïs voici une confidération qui fera mieux fen- 

 tir encore la nécefîîfé dedilîinguer trois parties dans 

 toute propofition hypothétique. Si l'on fait choix 

 . -de deux pareilles prôpolitiqns vifiblement conyerfes 

 " Tune de l'autre , & qu'on les diffribue feulement 

 en deux parties , l'hypothèfe & la thèfe , on ne 

 pourra jamais obtenir l'une de ces propofitions , à 

 l'aide d'un fimple renverfement de l'autre; & il 

 faudra toujours confervér dans leurs deux hypo- 

 thèfes quelque chofe qui leur eH: commun , & qui 

 . iiepeut palier ni dans la thèfe de l'une , ni dans celle 

 de l'autre. Ce font ces qualités communes aux deux 

 . hypothèfes, que j'en détache , pour former ce que 

 Je nomme \c fuja. 



Nous fommes à préfent en état de reôifier la dé- 

 finition qui eft à la tête de cet article, & de dire , 

 que quand deux propofitions ont un même fujet , 

 mais que l'hypothèfe &c la thèfe de l'une font un 

 échange mutuel de leurs fonctions pour former l'au- 

 tre propofition, elles font dites converfes l'une de 

 l'autre ; &: que la plus importante des deux , ou 

 bien celle que l'on met la première, parce qu'elle 

 peut fe démontrer plus aifément fans le fecours de 

 l'autre ; que celle-ci ne peut être prouvée indépen- 

 damment de celle-là, fe nomme quelquefois la dirccic. 

 Voici donc la forme à laquelle je réduis les énon- 

 cés de^ toutes les propofitions & de leurs convcrfes. 



Sujet commun. Tout ce qui a les qualités A , B , 

 C, &c. 



Dirzcîe ^ '^'f' ^'^^ po^ede encore la qualité R. 



l Thefc, Il poffédera auffi la qualité S. 

 ^ ^ ^ Hyp, S'il poffede encore la qualité 



J^' i rAèyt-, Il poffédera auffi la qualité iî. 

 Je ferai à préfent beaucoup plus aifém.ent compris 

 dans ce que j'avois à obferver fur les différentes 

 . queffions dont on a embrouillé cette matière , & fur 

 quelques autres règles contre lefqueiles pèchent la 

 plupart des élémens qu'on met entre les mains des 

 jeunes gens. 



Première qucjîion. Tout théorème a-t-il une con- 



verfe ? 



Je me croirois difpenfé' d*une réponfe , fi des au- 



teurs très-applaudis d'ailleurs , n'avoiéni j>às pré- 

 tendu le contraire, en s'appuyaht par exetnple de 

 la 31® d'Euciide; que par cette raifon, je vais ex- 

 primer ici à ma manière : dan!5 toute figure recilUgne^ 

 oà il y à predfèment trois coih^ ; lafomrfit'des miglés 

 'vaut deux- droits, La ùonverfe eh eff à préfent aifée à 

 trouver : dans toute figure rccliLignt , ou la fomme des 

 angles vaut deux droits ^ il y a prldjémznttrois cotés. 



On voit ici , que poiir avoir mes trois parties , j'ai 

 été obligé de fubiLituer la définition au défini, par- 

 ce que ce dernier renferrtioit fous un fcul mot, les 

 qualités qui dévoient appartenir au fujet, avec celle 

 qui conftituoit l'hypothèfe. C'eft ce que l'on eff fou- 

 vent obligé de faire ; & c'eft-là fans doute ce qui 

 a empêché jufqu'à préfent les auteurs d'appercevoir 

 cette diffindion. 



Seconde quejlion. Tout théorème univerfellement 

 vrai , a-t-il une converfe univerfellement vraie } 



Oui, pourvu que l'hypothèfe foit auffi étendue 

 que la théle. Un des principaux auteurs qui ont fou- 

 tenu la négative, s'é tant fait fort fur-tout de l'exem- 

 ple d'une diagonale qui coupe en deux également 

 fon parallélogramme , fans que pour cela toute droite 

 qui coupe un parallélogramme en deux également en 

 iolt la diagonale : je ferai peut-être plaifir à fes lec- 

 teurs, en leur indiquant trois m.anieres de rendre 

 ce théorème tmiverfellement convertible. Première- 

 ment en généralifanc l'hypoihlfie , c'eft-à-dire , en l'é- 

 tendant à toutes les droites qui paffent par le point 

 d'interfeûion des deux diagonales , ou qïï pariicula- 

 rifant la thlfe , ce qui auroit. lieu fi on difo.t que \t 

 parallélogramme eft coupé en deux parties égales 

 & femblabîes , ou feulement en deux triangles ; ou 

 enfin en décorapofant l'idée de diagonale , comme 

 nous avons décompofé dans la première quefiion 

 l'idée de triangle , ce qui donneroit l'énoncé qae 

 voici : Toiite droite qui pajji par le fommu d'un des 

 angles d'un parallélogramme ^ Ji elle p^Jfe âu[fi. par U 

 Jommzt de l'angle oppoje , cÛ^ coupera ce parallélo^ 

 gramme en deiix parties égales. ™;i me propofa une fois 

 î'exéniple fuivant à convertir : Tout polygone inf- 

 criptible au cercle , s''il ejl équïlatéral ^ il cfi aujji équian^ 

 glei &L je la rendis convertible en généralifant l'hy- 

 pothèfe, c'eft-à-dire , en difint : fi ces côtés alterna- 

 tifs font égaux. On remarquera en pafiant, que c'eft 

 feulement dans les théorèmes dont la thèfe n'eft pas 

 plus étendue que l'hypothèfe, qu'on peut donner le 

 nom de propriété à la qualité que renferme cette 

 thèfe. 



Je dois auflî un mot à ceux qui donnent dans 

 l'excès oppofé , &: qui répondent à la queftion pré- 

 fente par l'afiirmative, fans y mettre aucune reftri- 

 ftion fur l'étendue de la thèfe relativement à l'hy- 

 pothèfe ; mais qui^croient y fuppléer en diftinguant 

 les vérités mathématiques de celles qui ont un autre 

 objet que la quantité. Les Savans de tous les fiecles 

 ayant pris plaifir à rendre leurs propofitions aufiî 

 univerfeiles qu'il leur étoit pofîible , & ayant trouvé 

 plus de facihté à le faire dans les mathématiques 

 que dans quelque autre fcience que ce fût , il en eft 

 arrivé que prefque toutes les propofitions de cette 

 fcience ont eu des hypothèfcs aufll étendues que 

 leurs îhèfes , & par conféquent des converfes auflî 

 vraies qu'elles ; ce qui a porté quelques efprits peu 

 profonds à conclure par une induftion précipitée , 

 qu'il fuffifoit qu'une propofition certaine eût pour 

 objet quelque branche dès Mathématiques pour que 

 fa converfe fût certaine auffi ; & quand ils ont ren- 

 contré dans leurs leftures géométriques des théorè' 

 mes dont la converfe éioit fauffe , où ils n'y ont pas 

 fait attention , où ils ont attribué cette fauffeté à la 

 malhabiletc de l'auteur, qui avoit pris pour converfe 

 d'une propofition ce qui ne l'étoit pas précilemenr. 

 Une conféquence naturelle de leur opinion a été , 



