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qu'on né poiivoit fe dirpenfer entièrement de clé- 

 Tnontrer les convtrf&s • erreur qui leur ell commune 

 avec toutes les pérfonnes qui , n'ayant pas naiurel- 

 lemeni refprit net, n'y ont pas un peu fuppléé par 

 l'étude de la philofoptiie. 



■ Troijicmê quefiion-, La même propofiîîon a- 1 -elle 

 pluûeurs convirjïs toutes auffi vraies qu'elle ? 



Je répondrai encore une fois en dhlinguant : le 

 choix des qualités dont on veut compofer l'hypo- 

 îhèfe & la thèfe étant une fois déterminé , il n'eft 

 plus poffible de cohv&rdr la propoluion de plus d'une 

 manière j mais j fi l'on n'avoit encore déterminé 

 €[ue la qualité qui doit former la thèfe de la dircdfe , 

 ©n pôurroit varier de plusieurs manières Texpreifion 

 de cette dire^le , & par conféqiient l'expreliion Ôc le 

 fond même de la convcrft; fa voir , en tirant du lujet 

 pris félon l'acception commune, tantôt une quahté & 

 tantôt une autre, pour en former ce que j'appelle 

 ïhypothlfe,. A préfent, fi l'on me demande quelles 

 régies doit fuivre un auteur dans le choix de la qua- 

 lité qu'il defiine à former l'hypothèfe de la directe ; 

 je répondrai en général , qu'il doit préférer celle qui 

 devenue thèi'e à fon tour, formera la convirfc la plus 

 Uîile& la plus éléganie. Mais voici une règle plus par- 

 ticulière : quand on a une clafie de théorèmes , qui ne 

 différent qu'à un leul égard, on doit choifir pour hy- 

 pothèfe la quahté qui confiitue cette différence , de 

 Ibrte que Icfujetfoitabfolumentle même dans toutes 

 ces propOfitions & dans toutes leurs convcrfcs. Outre 

 l'uniformité qui réfulte de robfervatioii de cette ma- 

 xime , ce qui offre plus de commodité à l'atcention & 

 à la mémoire ; on en retirera encore l'avantage de 

 pouvoirtoujours > fans aucune étude, démontrer les 

 converfes de ces fortes de propofitions , par une mé- 

 thode générale qui fera expliquée plus bas. On aura 

 lin exemple de ce que je prelcris, fi dans celui que 

 l'ai allégué à l'occalion de la première quefiion , à la 

 place des nombres trois & dmx^ dont l'un eft dans 

 l'hypoîlièfe & l'autre dans la thèfe, on met les nombres 

 4 & 4 , ou i &. <^ , ou 6"' & ^ , ou y oc l o , &c. ou 

 généralement a k: a. a — ^; ce qui fournira des théo- 

 rèmes fur la fomme des angles d'un quadrilatère, 

 d'un pentagone, & gcnéraiemenr d'un polygone 

 quelconque. 



Qiiatrumi qucjîion. Convient -il de faire fuivre 

 chaque théorème par une convcrft } 



La fymétrie le demanderoit : mais premièrement, 

 comme les Mathématiques s'étendent tous les jours, 

 fans qu'il en arrive autant à la vie de ceux qui s'y 

 appliquent ; il faut, dans ce fiecle fur-tout, lacririer 

 cet avantage à celui de la brièveté , quand on pré- 

 voit que ces converfes n'auroient aucune utilité con- 

 fidérable : nous devons imiter la fage retenue d'Eu- 

 cîide , qui, quoiqu'il vécut dans un tems où l'objet 

 des Mathématiques étoit mille fois moins vafte qu'à 

 préfent , a fû cependant fe borner aux converfes dont 

 ïi avoit befoin pour démontrer fes principaux théo- 

 rèmes , fans qu'on ait lieu de ibupçonner un fi grand 

 génie d'avoir agi de la forte par incaj^acité. En fé- 

 cond lieu , on eit bien forcé, fur-tout dans les Ma- 

 thématiques mixtes, d'abandonner Ibuvent le projet 

 d'inlérer certaines converfes dans un traité , faute de 

 pouvoir en donner la déraonftration. Il eiî bien plus 

 aifé de defcendre des caules aux effets, que de re- 

 monter des effets aux cauies. Le nombre des caufes 

 combinées dont on cherche le réfultat, étant arbi- 

 traire, ce nombre eff connu & aulii petit que l'on 

 veut ; au lieu que celui des effets devant être puifé 

 dans la nature , fous peine de fe perdre dans des con- 

 clufions chimériques ; ce nombre nous eft fouvent 

 inconnu par l'imperfetlion de nos feus , même il 

 eft fouvent trop confidérable pour les forces de no- 

 tre entendement : fans ces deux obftacles , rien 

 îî'empêcheroit nue nous ne puffions acquérir fur les 



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caufes phyfîques des lumières auifi certaines que 

 celles dont nous jouiffons à l'égard de la, Géométrie 

 pure ; fçavoir > en employant la voie d'éxclufion pour 

 découvrir Us converfes en Phyfique , comme on le fait 

 ordinairement enGéométrie pour les démontrer; mai^ 

 comment mettre en ufage cette méthode , quand on 

 ne peut pas avoir des énumérations complettes, & 

 que la reje£lion de chaque membre de cette cnumé- 

 ration exige des calculs dOnt nous avons à'peine les- 

 élémens? Ceci .nous mené tout naturellement à la 

 queftion fui vante., - ' 



Cinquième quef ion . Quelle méthode, doit- On met- 

 tre en ufage pour la dcmonftration des converfes} " 



On peut les démontrer d'une manière qui n'ait 

 aucun rapport avec celle qu'on aura employée pouf 

 leurs diredes 5 lorfqu'on eft alïez heureux pour trou- 

 ver fans efforts un moyen confidérablement plus 

 abrégé ou plus élégant que celui fur lequel on a fon- 

 dé la certitude de ces direftes ; mais voici deux mé^ 

 thodes générales , dont peuvent faire ufage ceux 

 qui n'ont pas le génie ou le loifir nécefTaire pour 

 faire mieux ; méthodes qui pourront plaire d'ailleurs 

 aux amateurs de l'uniformité, vu la relation qu'elles 

 mettent entre les démonftrations des propofitions 

 converfes l'une de l'autre. 



Pour rendre la première méthode appliquabîe à 

 un théorème donné, il faut à ce théorème en join- 

 dre un autre dont le fujet foit le même , mais dont 

 l'hypothèfe & la thèfe foient précifément l'oppofé 

 de celles de ce premier. Cette féconde direâe étant 

 démontrée 5 ce qui eft ordinairem.ent fort aifé à ce- 

 lui qui a déjà démontré la première , il faut démon- 

 trer la convtrfe de cette première, en difant Ample- 

 ment que fi elle n'avoit pas lieu, la féconde diredé" 

 feroit fauffe , & démontrer la converfe de la féconde, 

 en avertiftant feulement que fi elle n'étoit pas vraie, 

 la première direâe ne le feroit pas non plus. Quoi- 

 que cette méthode foit fort connue , j'èfpere qu'on 

 me pardonnera d'en rapporter ici la formule , en 

 confidérarion de la règle que j'ai donnée en répon- 

 dant à la troifieme queftion, vu que cette règle en 

 deviendra plus inteiligibie encore , ce qui arrivera 

 aUlli aux réflexions que je joindrai à la formule. 



Première directe. Dans tout fujet qui a les qualités 

 A , B , &C.ÏIÏ3. quantité p eft égale à la quantité q , 

 la quantité r fera égale à la quantité s. 



Seconde directe. Dans tout , &c. fi p n'eft pas égaler 

 à ^ , r ne fera pas égale à s. 



Première converfe. Dans tout , &c. fi r eft égale à 

 s , p fera égale à q. 



Dimonf ration. Si p q étoient inégales, r &c s 

 le feroient aufii par la féconde directe ; mais r & s 

 font fuppofées égaies , donc p &c q ne fauroicnt être 

 inégales. 



Seconde converfe. Dans tout , &c. fi r n'eft pas 

 égale d. s , p ne fera pas égale à q. 



Dcmonjîr. Sip Sc q étoient égales 5 & 5 le feroient 

 auîïï par la première direde ; mais r & 5 font fuppo- 

 fées inégales , donc p Siq ne fauroient être égales. 



Pour éviter l'idée négative qu'offre l'inégalité prifè 

 abflraitement, & les raifonnemens négatifs qu'elle 

 exige quelquefois , on la diftribue fouvent en deux 

 cas, celvii de majorité &l celui de minorité ce qui 

 d<-;nne à la vérité trois direûes & trois converfes au 

 lieu de deux : Si, dit-on, p = q, on aura r^s; ft 

 p > q , on aura r>s; 6'_yz"p<q,o/2 aura r < S , 6* 

 réciproquement. 



On peuî mêmediviferl'iqégalité d'une manière plus^ 

 déierminée encore, & en quelque façon plus pofi- 

 tive , en lui fubftituant féparément différentes éga- 

 lités, comme on peut s'en éelaircir par l'exemple déé- 

 diverfes valeurs de la fomme des angles des divers 

 polygones : cette méthode fournit un grand nombm 

 de direûes , quelquefois une infinité qu'on doit dé- 



