Entre deux joueurs dont l'un ne rifque qu*un ar- 

 gent qu'il peut perdre fans s'incommoder, &: l'autre 

 un argent dont il ne fçauroit manquer fans être. pri- 

 vé des befoins efienîiels de la vie, à proprement 

 parler, le jeu n'eft pas égal. 



Une conféquence naturelle de ce principe , c'ell 

 qu'il n'eft pas permis à un fouverain de jouer im 

 jeu ruineux contre un de fes fujets. Quelque foit 

 l'événement, il n'efl rien pour l'un; il précipite 

 l'autre dans la mifere. 



On a demandé pourquoi les dettes contraftées au 

 jeu fe payoientfi rigoureuferaent dans le monde > où 

 l'on ne fe fait pas un fcrupule de négliger des créan- 

 ces beaucoup plus facrées. On peut répondre , c'eft 

 qu'au jeu on a compté fur la parole d'un homme, 

 dans un cas où Ton ne pouvoit employer les lois 

 contre lui. On lui a donné une marque de confiance 

 à laquelle il faut qu'il réponde. Au lieu que dans les 

 autres circonftances où il a pris des engagemens , on 

 le force par l'autorité des tribunaux à y fatisfaire. 



Les jeux de hafard font foumis à une analyfe 

 qui eû tout à fait du reffort des Mathématiques. 

 Ou la probabilité de l'événement eft égale entre les 

 joueurs ; ou û elle eft inégale , elle peut toujours fe 

 compenfer par l'inégalité des rnifes ou enjeux. On 

 peut à chaque infiant demander quelle eft la préten- 

 tion d'un joueur ; & comme fa prétention à la fom- 

 me des mifes eû en raifon des coups qu'il a pour lui, 

 le calcul déterminera toujours , ou rigoureufement, 

 ou par approximation , quelle feroit la partie de cette 

 fomme qui lui re viendront, fi le jeu ne s'inftitiioit 

 pas, ou fi le jeu étant une fois inftitué, on vouloit 

 l'interrompre. 



Plufieurs Auteurs fe font exercés fur l'analyfe des 

 jeuK ; on en a im traité élémentaire de Huygens ; on 

 en a un plus profond de Moivre ; on a des morceaux 

 trèsrfiçavans de Bernoulli fur cette matière. 11 y a 

 une analyfe des jeux de hafard par Montmaur , qui 

 iî'eft pas fans mérite. 



Voici les principes fondamentaux de cette fcience. 

 Soit p le nombre des cas où une chofe arrive ; foie 

 ^ le nombre des cas où elle n'arrive pas. Si la pro- 

 babilité de l'événement eft égale dans chaque cas, 

 l'apparence que la chofe fera eft à l'apparence qu'elle 

 ne fera pas , comme p eà k q. 



Si deux joueurs &c B jouent à condition que fi 

 les cas/? arrivent, ^ gagnera ; que ce fera 5 au con- 

 traire qui gagnera , fi ce font les cas q qui arrivent , 

 & que la mi^e des deux joueurs foit a ; l'efpérance 



cj a 



dp fera , & l'efp érance de B lèra 

 Amii , ûjé&cB vendent leurs efpérances , ils en 

 peuveot c^'i^sr l'un la valeur -~r , il'^tatrç 1,^ va- 

 leur ■ f^— . 



,$'il y a djeux ive^e^uens indépeadans , & que p 

 foit le nombre des eas où l'un de ces évenemens 

 peut avoir Ije^i; q le nombre des cas où le même 

 événement peut ne pas arriver ; r le nombre des 

 r^:.as où le fécond événement peut avoir lieu ; s le 

 nombre des cas où le fecorid événement peut ne 

 pa? arriver; multipliez p-{--q par r-\-s-^ le produit 

 pr-\-qr-\-ps-\-qs fera le nombre de tous les cas 

 poffi'bles de la chofe , ou la fpmme des évenemens 

 pour & contre. 



Donc fi A gage contre B que l'un & l'autre éve- 

 nemens auront lieu , le rapport des hafards fera com- 

 ine pr k q r-\-ps -\-qs. 



S'il gage que le premier évenernent aura lieu & 

 que le fécond n'aura pas lieu , le rapport des ch,an- 

 ces ou hafards fera comme /'^ k pr-i-qr-i-qs. Et 

 s'il y.a trois ou un plus grand nombre d'éyenemens, 



la raifon des chances ou hafards fe trouvera tou^ 

 jours par la multiplication. 



Si tous les évenemens ont un nombre donné cfq 

 cas où ils peuvent arriver, & un nombre donné de 

 cas où ils peuvent ne pas arriver ; & que a foit lé 

 nombre des cas où ils peuvent arriver ; è le nombre 

 des cas où ils peuvent ne pas arriver; & /2 lenopir 

 bre de tous les cas : élevez a^k la puifTance /z. ' 



Maintenant ûA$cB conviennent que fi un de ces 

 évenemens indépendant , ou un plus grand nombre de 

 ces évçnemens a lieu , A gagnera ; & que fi aucun 

 de ces évenemens n'a lieu , le gagnant fera B : la 

 raifon ou le rapport des hafards qu'ils courent , 

 pu ce lui de leurs chances relatives, fera comme 

 a+è^ - h ké" : car ùrf efi le feul terme où a ne fe 

 trouve point. 



Si A & B Jouent avec un fcul dl , à la condido/t 

 qiufi A amem deux fois ou plus de deux fais As , ert 

 huit coups , il gagnera ; & qu'en toute autre fuppojition 

 ou cas , il perdra. On demande le rapport de leurs chan- 

 cts ou hafards, 



Puifqu'il n'y a qu'un cas à chaque coup pour ame- 

 ner un As,&: cinq caspour ne lepas amener;foit <z = i 

 &: ^ = 5 ; d'ailleurs puifqu 'il y a huit coups à jouer ^ 

 foit /z=8. On aura donc aA^b^—b^ — nab"^— i 

 pour la chance d'un des joueurs , & b»- -\~nab^^ \ 

 pour la chance de l'autre ; ou l'efpérance de ^ à l'ef- 

 pérance de ^ comme 663991 à loi 5625 ; ou à peu 

 près comme 2 à 3. 



A & Bfont engagés au jeu de palets ; il ne manqué 

 à A que quatre coups pour avoir gagné ; il en mariquâ 

 fix àB ; mais à chaque coup Vadrefje de B eji à Vadreffc 

 de A comme ^ ejl à 3., On demande le rapport de leurs 

 chances , hafards ou efpérances. Puifqu'il ne manque à 

 A que quatre coups , & qu'il n'en manque à B que 

 fix , le jeu fera fini dans neuf coups au plus. Ainfi éle- 

 vez a-^b à la neuvième puifiTance , & ypus auret 

 û9 + 9 ^zH-f- 36 fl7^^4- 84 a^ b3 + 126 'é4 4- 126 

 ^4 b5 J~S4a3 b^-{.-i6a^b7-\.^ab9+b9;^ prenez 

 pour A tous les termes où a a quatre ou un plus 

 grand nombre de dimenfions; &:pour-g tous ceux 

 où ^ en a fix ou davantage ; & tout le rapport de 

 leurs hafards, comme ^z9 + ^8 ^_|_ ^5^7 g^^g 



+ 126 a5 M -j- 126 a4 b5 eft à 84 a3 b^ -f- 36 qp- b7^ 

 + 9<2^8 ^ ^9 ; & foit ^= 3 & 2 ; & vous au- 

 rez en nombre les efpérances des jouejjrs, comm 

 175-9077 194048. 



A & Bjouent au palet ; mais A cfl le plus fort , enfqrt^ 

 quil peut faire à B l'avantage de deux coups fur trois ^ 

 On demande le rapport de Leurs chances ' dans un feuL 

 coup, Suppofons que ce rapport foit comme ^ à i , 

 élevez { -{- i à la troifieme puifiànce ,. ê£ vous aiuez 

 ^3 + 3 ^ 2 + 3 ^ -i- I. Maintenant ^ pouvant faire 4 

 B l'avantage de deux coups fur trois , A fe propQfe 

 de gagner trois coups de fuite , &ç conféquemmenî 

 à certe condition fa chance fera comme à \ii 

 + 3 ^-f I , & ^3^z= 3 + I. Ou 2 ^3 =^3 f 3 ^1 



4-3Î + I. Etc^7=.£+i &c=';>il^:donck^ 



chances font cQmj^^p 



Trouver en combien de coups il eft probable qu 'un évepê-- 

 ment quelconque aura lieuj enforte que A & puiffent ga-- 

 gerpour ou contre à jeu égal. Soit le nombre des cas où 

 la chofe peut arriver du premier coup = ^ ; fçxi^: 

 le nombre des cas où la chofe peut ne pas arriver 



^u^on a dit plus haut ,a-\-bx-^b^=-bxovia-\.bxz=: xb^. 



^ — log.a +lrjogv - b • Et reprenant l'équation 

 4 \f h^ iJf j & -fefant a . b . ; : i ^ , on aura 



