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J O u 



à la puiffance x ^ par le 

 + 7 



1 4-- = 2. Elevez i + 

 théorème de Newton , & vous aurez i + - 

 V £rJ _i_ 1 X — - X &c. = 2. Or dans cette 



équation, Çiq=^iScx=:i,q étant infinie , x le 

 fera auffi. Faifant donc x infinie, on aura i + j 

 4. J'JL + , &c. = 2. Soit - = r , & l'on aura 



1 4- î + iîî + ^t^&c. = 2. Maisi+{ + l{^ 

 + I ^3 , &c. eft un nombre dont le logarithme hy- 

 perbolique eft i. Donc i=\og. 2. Mais le loga- 

 rithme hyperbolique de 2 eft à peu près 7 : donc 

 = 7 à pe^ près. Mais où ^ eft i , a; eft i ; & oii ^ 

 eft infinie x=3. peu près 7. Voilà donc les limites 

 du rapport de x à ^ fixées. C'eft d'abord un rap- 

 port d'égalité, qui dans la fuppofition de l'infini, 

 devient celui de 7 à 10 , ou à peu près. 



Trouver en combien de coups A peut gager d^anicner 

 deux As avec deux dis, Puifqu'^ n'a qu'un cas où U 

 puiffe amener deux As avec deux dés; & trente- 

 cinq où il peut ne les pas amener , ^ = 35; multi- 

 pliez donc 35 par 7; le produit 24.5 montre que 

 le nombre de coups cherché eft entre 24 &; 25. 



Trouver h nombre des cas dans lefqueLs un nombre 

 quelconque donne de points peut être amené avec un 

 nombre donne de des. Soit /? ■+■ i le nombre donné de 

 points ; n le nombre de dés ; &/le nombre des faces 

 de chaque dé : foit p—f=q, q—f—r^ r—f— s , 

 $—fz=.t y &c. le nombre cherché de coups fera 



+ 



p 



I 



X 



p+ 1 



2, 



■X 



3 



,&C. 







JL 

 1 



X 



q-\ 

 2, 



•X 



q-i. 



3 



■&c. X 



n 

 I 





r 



X 



r - 1 



X 



r— 2 



&c. X 



7z ■ n — x 



I 



2 



5 



— X 



1 2 





r 



X 



s- I 



X 



s — X 



-&c. X 



n n-X 



— X 



X 



Série qu'il faut continuer jufqu'à ce que quelques- 

 uns des fafteurs foit égal à o, ou négatif ; & remar- 

 quez qu'il faut prendre autant de fadeurs des diffé- 



rens produits — x- — — X 



&c. 



X' 



X 



r- — occ. — X X &c. qvi'il y a d'um- 



5 I 2. j ^ J 



tés dans n—i. 



Soit donc le nombre de cas cherché , celui où l'on 

 peut amener feize points avec quatre dés. 



+ -^X^X^ = -F455 

 x|x|X4 = -336 



+ -f Xf XtX^ 



xl = + 6. 



Or 455 — 336 + 6= 125. Donc 125 eft le nombre 

 cherché. 



Trouver en combien de coups A peut gager d'amener 

 quin:(e points avec Jix dés. A aj^ant 1666 cas pour lui, ôi: 

 44990 contre ; divifez 44990 par 1 666, &: le quotient 

 '27 fera= q. Multipliez donc 27 par 7 ; le produit 1 8'. 

 Cf montrera que le nombre de coups eft environ 19. 



Trouver le nombre de coups dans lequel il y a à pa- 

 pier qu'une chofe arrivera deux fois; de forte que A 6*6 

 rifquent autant l'un que l'autre. Soit le nombre des 

 cas où la chofe peut arriver du premier coup = a ; 

 & le nombre de ceux où elle peut ne pas arriver = b. 

 Soit x \q nombre de coups cherché. Il paroît par ce 

 qui a été dit que a + —^bx-{^^axbx=.l. Et 



faifant ^ i .q; 



i-\ ^ % 



Soit 



= i partant ^ = 3. 2°. Soit^ infinie, & par 

 conféquent :r auffi infinie. SoitA:infinie,&— = 7^. 

 Donçi + ^+^;5;^ + |;^3 &:c. = 2 + 2:t, &^ = log. 



J O U 



2 + log. I 4- '^og. 2 =:y. L'équation fe trans- 



formera dans l'équation diftérentieile luivante. 



Kl 



= y , cherchant la valeur de ;[ par les 



puiflances de y , on aura 1=1. 678 , ou à -peu- 

 près. Amfi la valeur de x fera toujours entre les li- 

 mites de 3 ^ & de I. 678 q. Mais x convergera 

 bientôt à 1. 678 q ; c'eft pourquoi , fi le rapport de 

 q k ï n'eft pas très-petit , nous ferons x=i. 678 q. 

 Ou fi onfoupçonne x d'être trop petite, on fubfti- 



r* 2. X 



tuera fa valeur dans l'équation i -j = 2 + — 



& l'on notera l'erreur fi elle en vaut la peine ; x 

 prendra ainfi un peu d'accroiflement. Subftituez la 

 valeur accrue de x dans l'équation fufdite , & notez 

 la nouvelle erreur. Par le moyen de ces deux erreurs, 

 on peut corriger celle de x avec afl"ez d'exaftitude. 

 Voici une table des limites qui conduiront affez vite 

 au but qu'on fe propofe dans ce problême. Si l'on 

 parie feulement que la chofe arrivera une fois , le 

 nombre fera entre i ^ & o. 693 ^ 



fi deux fois ; entre 3 ^ & i . 678 q 

 fi trois fois ; entre 5 q & 2. 675 ^ 

 fi quatre fois ; entre j q &c Cji q 

 fi cinq fois; entre 9 ^ &: 4. 673 q 

 fi fix fois ; entre 11 ^ & 3. 668 q. 

 Trouver en combien de coups on peut fe propofer d'a- 

 mener trois As^ deux fois , avec trois dés. Puifqu'il n'y 

 a qu'un cas où l'on puiffe amener trois as, & 215 

 où l'on ne les amené pas ,^=215; multipliez donc 

 215 par I. 678 : le produit 360. 7 montrera que le 

 nombre de coups eft entre 360 & 361. 



A 6- B mettent fur table chacun dou:^e pièces d'argent ; 

 ils jouent avec trois dés, à cette condition qu'à chaque, 

 fois qu'il viendra on^e points, A donnera une pièce à B , 

 & qu'à chaque fois qu'il viendra quator:^e points B don-- 

 nera une pièce à K ; enforte que celui qui aura U premier 

 toutes les pièces en fa poffeffion les regardera comme ga-* 

 gnéespar lui. On demande le rapport de la chance dek à la 

 chance de B. Soit le nombre de pièces que chaque 

 joueur dépofe=/7 . & ^ le nombre des cas où A & 

 -ô peuvent chacun gagner une pièce. Le rapport de 

 leurs chances fera donc comme a p ï. b p .izx p z=li'î. , 

 a— 27, 1 5. Or fi 27 étant à 1 5 comme 9 à 5 , 

 vous faites = 9 & ^= 5 ; le rapport des chances 

 ou des efpérances fera comme 9^* à 5^^, ou comme 

 244140625 à 2;:^ 2429 5 3 6481. 



Une attention qu'il faut avoir, c'eft de n'être pas 

 trompé par la reffemblance des conditions , & de ne 

 pas confondre les problêmes entr'eux. Il feroit aifé de 

 croire que le fuivant ne diffère en rien de celui qui 

 précède. C a vingt- quatre pièces^ & trois dés ; à cha- 

 que fois qu'il amené xy points , il donne une pièce â 

 A, & à chaque fois qu'il amené 14 , il en donne une, 

 i B ; 6* A 6- B conviennent que celui des deux qui aura, 

 le premier dou^e pièces , gagnera la mife. On demande 

 le rapport des chances de A & de B. Ce fetond problê- 

 me a ceci de propre qu'il faut que le jeu finiffe en 

 vingt-trois coups; au heu que le jeu peut durer éter- 

 nellement dans le premier, les pertes & les gains fe 



détruifant alternativement ; élevez a + ^ à la 23® 

 puiffance , & les douze premiers termes feront aux 

 douze derniers , comme la chance de ^ à celle à^B, 



Trois joueurs A , B 6» C ont chacun dou^e balles ; 

 quatre blanches & huit noires, & les yeux bandés, ils 

 jouent à condition que le premier qui tirera une balle 

 blanche gagnera la mife ; mais A doit tirer le premier ^ 

 B le fécond , C le troifienu , & ainfi de fuite , dans cet 

 ordre. On demande le rapport de leurs chances^. Soit 

 n le nombre des balles ; a le nombre des blanches; 

 b le nombre des noires , & l'enjeu =1. 



\^ . pour amener une balle blanche les cas a ; 

 & les cas b pour en amener une noire ; donc fa 



chance 



