èliance ea commençant ""J" ^ Sôùf- 

 ta-ayant — ^ de i ; la valeur des chances reflanteS 



n- a b 



r ^ 



i^ra 1 — 



n. n n ' 



iP. B 2i pour amener une balle blanche les cas ^z; 

 & les cas b-^ \ pour en amener une noire ; mais 

 c'eft kAk commencer de jouer , & il eil incertain 

 s'il gagnera ou ne gagnera pas l'enjeu; ainii l'en- 

 jeu relativement à B n'eft pas i , mais feulement 



y 



; ainfi donc fa chance, en qualité de fécond 



h ab . 



X = . Souitrayez 



joueur efl: 



a b 



a+è-i 

 b 



n X n — i 



de =• , & la valeur du refte des chances 



n b— b — ab 



bxb— 1 



fera 



n X — L nxn — i 



3". C a pour amener une balle blanche les cas a i 

 & les cas b — i pour en amener une noire ; ainfi fa 



a X b y /■ — i 



chance en qualité de troifieme ioueur.eft ■ 



' nxn-ixn-z. 



4°. En raifonnant de la même manière , A a pour 

 amener une balle blanche les cas a , & pour en ame- 

 ner une noire les cas 3 ; ^inû comme jouant un 

 quatrième coup, après les trois premiers coups joués, 



:bx h — 1 b 



fa chance fera 



tnxn — ixn—2.xn — j 



& ainfi de fuite 



pour les autres joueurs. 



Ecrivez donc la férié + 



n — y ^ ' 



-f cS", Oit les quantités P, <2,/2, S dé- 



noreiit les termes ou quantités précédentes , avec 

 leurs caraâeres. Prenez autant de termes de la férié 

 qu'il y a d'unités dans b-i- 1 ; car il ne peut pas y 

 avoir plus de tours aujeu qu'il y a d'unités dans ^4- 1 ; 

 & la fomme de tous les troifiemes termes , fautant 

 les deux termes intermédiaires , en commençant par 



~ , fera toute la chance de A; pareillement la fom- 

 me de tous les troifiemes termes , en commençant 



b , * 



par P , fera toiîte la chance de & tous les 



b — I 



troifiemes termes en commençant par ~ — Q, fe- 

 ra la chance de C. 



En faifant a = 4 , b—S ^ n~iz; la férié géné- 

 rale fe transformera dans la fuivante fr 4- ir 



Ou dans cette autre , en multipliant tous les termes 

 par quelque nombre propre à ôter les fra£tions , 

 comme ici par 495 , 165 + 12,0 + B4+ 56 -h 3 5 -h 

 2.0 + 10 + 4 + I* 



Donc la chance de A fera 165 -f 5(3 + iq = 231 , 

 la chance de ^ fera 120 + 35 + 4— ^59 9 

 la chance de C fera 84 + zo + 1=105. 

 Ainfi les chances de ces joueurs A , B; Cferont dans 

 le rapport des nombres 23 I, 159, 105 ou 77, 53 ,3 



A&B ont dou\e jutons , quatre blancs & huit noirs ; 

 A parie contre B qucn en prenant fept les yeux fermés , 

 il y en aura trois blancs i Quel eji le rapport de leurs 

 chances ? 



i*^. Cherchez eombiende fois on peut prendre di- 

 verfement fept jettons dans douze ; & par le calcul 

 des Gombinaifons vous trouverez 792. 



• 2°. Séparez trois jettons blancs, & cherchez tou- 

 tes les manières dont quatre des huit noirs peuvent 

 fe combiner avec eux; vous en trouverez 70. 



_ -1x^x1x1 = 70. 

 Et puifqu'il y a là quatre cas où trois jettons peu- 

 ^mt être tirés de quatre ^ multipliez 70 par 4 > & 

 1 Tome i[IUt 



J O U" 88f 



Vôiîs tfôuvereE iSô pour les cas oà tfois blancs peui 

 vent venir avec quatre noirs, 



3''. Par la loi générale des jeux, celui-là eÛ lé 

 gagnant qui amené le plutôt l'événement convenu ; 

 à moins que la condition Contraire n'ait été formel- 

 lement exprimée. Ainfi donc fi J! tire quatre jet- 

 tons blancs avec trois noirs il a gagné. Sépare^ 

 quatre jettons blancs , & cherchez toutes les manie» 

 res dont trois noirs de huit peuvent fe combiner ave© 

 quatre blancs , & vous trouverez 56* 

 f X ^ X I = 56. , 

 Amfi il y a 280 + 5 6 cas = 3 3 6 qui font gagner J ; 

 ce qui ôté du nombre de tous les cas 792. , il en refi:© 

 456 qui le font perdre. Ainfi le rapport de la chancô 

 de ^ à la chance de 5, eft comm« 336 à 456 , ou 

 14 à 19. 



Dans les problèmes fuivans, pour éviter la pro- 

 lixité , nous ne donnerons point l'analyfe, mais feu- 

 lement fon réfultat. Cela fuffirapour faire préfumer 

 les avantages &i les defavantages dans les jeux, ga- 

 geures, haiards de la même nature. tJn bon efprit fera 

 de lui-même ces fortes cl'efiiimation approchée, dont 

 on peut fe contenter dans prefque toutes les circonf- 

 tances de la vie 011 elles font de queîqu'importance. 



A&B jouent avec deux dés , à condition que Jt 

 A amené fix , il aura gagné ^ & B s'il amené fept. À 

 jouera U premier ; mais pour compenfer ce defavaU" 

 tage, B jouera deux coups de fuite; & cela jufquà cé 

 que l'un ou Vautre ait amené le nombre qui finit la par- 

 lie. Si l'on cherche le rapport de la chance de ^ à la 

 chance de ^, on le trouvera de 10355 ^ 12,2.76, 



^ Si un nombre de joueurs A , B , C , D, E , &c. tous 

 d'égale force , dépofent chacun une pièce , & jouent à 

 condition que deux d'entre eux A. ^ B commençant à 

 jouer , celui des deux qui perdra cédera la place au joueur 

 C ; celui des deux qui perdra cédera la place au jousur 

 ^ » j^f^^^ qu'un de ces joueurs vainqueur de tous les 

 autres, tire les enjeux ou la mife. On demande le rappors. 

 des chances de tous ces joueurs. Selon la folution de M, 

 Bernoulli , le nombre des joueurs étant /z + i, les 

 chances des deux joueurs qui fe fui vent l'un l'autre 

 font comme i + 2« à 2«, partant les chances de 

 tous les joueurs B ,C, £,&cc, félon la pro- 

 portion géométrique i + 2" : z'^ :: A . c e . d:z 

 d . e, &:c. Cela pofé , il n'eft pas difficile de déter- 

 miner les chances de deux joueurs quelconques, ow 

 avant que de commencer, ou quand le jeu efi en- 

 gagé. 



Par exemple , font trois joueurs A , B, C; alors 

 /z = 2 , & 1 = 2'^: 2« : : 5 . 4:1 a . c . c'eft- à-dire 

 que leurs chances ou efpérances de gagner avant que 

 J ait gagné B, ou B , C, font comme 5 , 5 , 4, ou 

 font T4 f~j 74 i car toutes enfemble doivent faire 

 I . Lorfque A aura gagné B , les chances feront com« 



I i 4 



S'il y a quatre joueurs A.^ B , D, leurs chan- 

 ces ou attentes feront en commençant comme 81 , 

 81 , 72, 64; &: lorfque A a gagné B ^ les chances 

 ou attentes de B^D, C, A, comme 25, 32, 36 , 

 56 ; & lorfque A a gagné ^ & C, les chances ou at- 

 tentes deC, Z>, B ^ A , comme 16, 18, 28, 87, 



A^ B, G, trois joueurs d'égale force ^ mettent uné 

 pièce , & jouent â condition que deux commenceront ^ 

 & que celui qui perdra fortira , mais en fortant ajoute- 

 ra une fomme convenue à la mife totale ; & ainfi dit 

 fuite de tous ceux qui Jbrtiront ^ j ufqu à ce qu'il y en ait 

 un qui batte Us deux autres , & qui tire tout. On de- 

 mandefila chance de A & de B ejl meilleure ou plus mau- 

 vaife que celle de C. 



Si la fomme que chaque joueur qui fort ajoûte à 

 la mafl'e, efl: â la première mife de chacun, comme 

 de 7à 6 5 les chances des trois joueurs font égales. 

 Si le rapport de la Ibmme ajoutée par le fortant â 

 la mafle ^ efi à la première mife en m.oindre rap- 



y V V V V 



