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Subtrahirens , ist der Gegensatz des Multiplicirens. Wieder ein besonderer Fall des Multi- 
plicirens ist das Potenziren, ein Multipliciren gleicher Factoren, und sein Gegentheil das Wur- 
zelziehen. Es sind demnach alle diese Operationen nur Wiederholungen der Grundoperation, 
des Zählens, und seiner beiden obersten Gegensätze des Zu- und Wegzähl ens. 
Die abgeleiteten Operationen weisen ihrem BegriiTe nach auf die Zahlenreihe zurück, 
und lassen sich also auf sie anwenden. Da diese unendlich ist, so gibt es für jede Operation 
unendlich viele Anwendungen; schon hier entfaltet sich also der Reichthum der Mathematik. 
Doch es entwickeln sich auch neue Begriffe. Die durchgeführte Anwendung der Subtraction 
erzeugt negative Zahlen. Mit ihnen erhalten wir eine zweite Hälfte der Zahlenreihe; ihre 
Unendlichkeit erstreckt sich nun nach beiden Seiten, und dadurch gewinnen sämmtliche Ope- 
rationen eine doppelt grosse Basis. Das Dividiren führt zu den Brüchen, deren eine unend- 
liche Reihe sich zwischen je zwei Glieder der Zahlenreihe einschiebt. Das Wurzelziehen 
fühlt zu den irrationalen Zahlen, welche sich wieder zwischen die Brüche schieben und die 
Reihe immer mehr verdichten, was durch andere Operationen noch fortgesetzt wird. Das 
Wurzelziehen auf die negativen Zahlen angewandt, bringt auch die imaginären Grössen zum 
Vorschein. So bildet sich die Zahlenreihe und mit ihr der Begriff der reinen Grösse immer 
mehr ausj jede Vermehrung aber der Zahlenbegriffe vervielfältigt auch wieder die Anwen- 
dungen der Operationen. Gleichwie ferner die Operationen auf die Zahlenreihe angewandt 
werden können, so auch umgekehrt die Zahlenreihe auf die Operationen. Damit gewinnen 
die Exponenten der Potenzen und Wurzeln ihre Mannigfaltigkeit und der Begriff des Loga- 
rithmus entspringt, der sogleich wieder mit der Zahlenreihe und den Operationen seine Ver- 
bindungen eingeht. Auf der Combination der durch das Zählen gewonnenen Operationen 
mit der Zahlenreihe beruht also die weitere Entwicklung der mathematischen Begriffe. 
Die Matliematik hat aber nicht bloss Operationen, sondern auch Verhältnisse; denn die 
Operationen erzeugen Grössen aus Grössen, und die erzeugten sind abhängig von den er- 
zeugenden. Schon die Operation des Vermehrens und Venninderns ergibt die Verhältnisse 
des Grösser-, Kleiner- und Gleichseins; die Summe ist abhängig von den Summanden, der 
Rest von dem Minuendus und Subtrahendus, das Product von den Factoren, die Polenz von 
der Wurzel und dem Exponenten u. s. w. Diese Abhängigkeit der Verhältnisse von den 
Operationen macht es möglich, durch Operationen gewünschte Verhältnisse hervorzubringen, 
und vorliegende Verhältnisse zu bestimmten Zwecken durch bekannte Operationen zu ver- 
ändern, d. i. Operationen und Verhältnisse mannigfach zu verbinden. Bei der Untersuchung 
der aus den Operationen hervorgehenden Grössenverhältnisse wird der numerische Werth der 
Grössen gleich j;iltig; man wählt allgemeine Zeichen für sie und gelangt zur Algebra. Die 
Functionenlehre ist die Fortsetzung der Untersuchung über die Abhängigkeitsverhältnisse der 
Grössen von einander, deren Gipfel die mächtige Differential- und Integralrechnung ist. Neue 
Verhältnisse begründen neue Operationen. Die ganze bewundernswerthe Ausbildung dieser 
Lehren entwickelt sich aber auf Grundlage und durch Anwendung jener ersten Operationen 
und Verhältnisse. 
.Icdcs Folgern besteht in dem Auffinden eines neuen Verhältnisses zwischen zwei 
Begriffen durch Vermittlung schon bekannter Verhältnisse, in welchen jeder der beiden Be- 
