Universal • Wissenschaft 193 
griffe stehl. Die Mathematik entwickelt, wie wir gesehen, auf ihrer Grundlage eine unendliche 
Menge von Grössenverhältnissen und hiemit stehen ilir für ihre Folgerungen unendlich viele 
Prämissen zu Gebote. Dieser Vordieil gewinnt ausserordentlich an Wichtigkeit, wenn man 
bedenkt, dass sie jede einzelne Grosse und zwar auf mehre Arten in unendlich vielen Formen 
darstellen kann, deren jede eine grössere oder kleinere Menge von Verhältn.ssen derselben 
vor die Augen bringt. So kann sie eine Grösse als Summe oder als Summande im Verhält- 
niss zu andern darstellen, beides auf unendlich viele Arten; ferner als Minuendus, Subtrahen- 
dus oder Rest, als Factor oder Product, als Potenz oder Wurzel, als Reihe u. s. w. u. s. w. 
Will sie also zwei Grössenbeyriffe in einem Schlusssatze mit einander verknüpfen, so wird 
unter den unendlich vielen Verhältnissen, in welche sie eine jede derselben zu versetzen weiss, 
sich unschwer ein Paar finden, durch welches jene Verknüpfung vermittelt wird. Allerdings 
ist es nicht immer der nothwendige Entwicklungsgang der einer Aufgabe zu Grunde liegen- 
den BegriiTe, welcher zu den passendsten Umformungen der Grössen führt, sondern diese 
Umformungen beruhen oft auf rein zufalligen Ansichten und sind dann ein glücklicher Griff 
des Genies; doch hat diese Schwäche die riesenhaften Fortschritte der Mathematik zwar im 
Einzelnen hemmen, im Ganzen aber nicht verhindern können. Ein merkwürdiges Beispiel 
dieser zufälligen Ansichten und des Nutzens der Umformungen bildet die Anwendung der 
trigonometrischen Functionen in der reinen Analysis, insofern diese in ihrer ursprünglichen 
Bedeutung genommen werden. Die Geometrie, indem sie den Kreis untersucht, legt in den 
Verhältnissen des Radius zum Sinus und Cosinus, zur Tangente und Cotangenle u. s. w. ein 
reiches Gewebe von Verhältnissen dar. Diese lassen sich in Zahlen ausdrücken, und daher 
vermag man umgekehrt Zahlenverliältnisse durch trigonometrische Functionen darzustellen. Im 
Begiiffe einer Zahl liegt jedoch nichts von jenen Linien. Die Umgestaltung einer reinen 
Grösse in eine trigonometrische Function beruht also zwar auf einem richtigen, aber rein 
zuRilligen Verfahren. Allein sobald sie vollbracht ist , ist auch die behandelte Grösse mitten 
in ein ihr ganz neues Gewebe von Grössenverhältnissen, Prämissen für zu findende Schluss- 
sätze versetzt, und dadurch wird bekanntlich oft allein ein Weiterschreiten in den Folgerungen 
möglich. Auf ähnliche Weise verhält es sich mit dem Gebrauche der elliptischen Functionen, 
und wie bisher so wird auch künftig jede neue Form, Grössenverhältnisse darzustellen, für 
die Mathematik eine neue Entwicklungsperiode herbeiführen. Auf der Unendlichkeit der Zah- 
lenreihe sowohl nach beiden Seiten hin als zwischen je zwei Gliedern derselben, auf dem 
Reichthume der Operationen und Grössenverhältnisse und der möglichen Combinationen der- 
selben beruht die unendliche Fortbildbarkeit der Mathematik, auf den Transformationen der 
Grössen ihre Stärke, Neues zu erfinden. 
Die folgenden Resultate fliessen aus dem Gesagten. Erstens: die reine Grössenlehre 
hat einen einzigen Grundbegriff, den des Zählens; aus ihm entwickeln sich alle andern Be- 
griffe und Verhältnisse. Zweitens: dieser Grundbegriff, obgleich eine Beziehung auf die Aussen- 
dinge, das Gezählte enthaltend, hat doch zum unmittelbaren Gegenstande unsere eigene Seelen- 
thätigkeit, das Setzen, Wiederholen desselben und Zusammenfassen des Wiederhohlten. Gleich 
ihm sind auch alle aus ihm abgeleiteten Begriffe der Operationen und Verhältnisse frei von 
jeder nothwendigen Zuthat von Aussen, von allem Gegebenen, was durch die Empfindung als 
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