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F. Exner. Uibtr Leibnitz' cns 
Beschaffenheit eines Aussendings in die Seele gelangt; sie sind reine Hervorhringungen der 
innern Thätigkeit und in diesem Sinne sind sie gemachte, nicht gegebene Begriffe. Drittens: 
Das Zählen kann betrachtet werden als Seelenthätigkeit , und diess fallt der Psychologie ац- 
heim; es kann die Bedeutung desselben für die gezählten, wirklichen Dinj^e, das Wesen der 
Zahlen untersucht werden, was Geschäft der Metaphysik ist. Die Thätigkeit aber lässt sich 
auch ins Auge fassen an und für sich, abgesehen davon, aus welchem Grunde sie stamme und 
welche Gellung ihren Resultaten mitten in der Wirklichkeit gcbülire; diess thut die Mathe- 
matik. In so weit aber besitzt jener Grundbegriff vollkommene logische Deutlichkeit. Vier- 
tens: Dieselbe Deutlichkeit besitzen die aus ihm abgeleiteten Operationen und Verhältnisse; 
denn nur so weit sie mit klarem Bewusstsein abgeleitet worden, werden sie festgehalten und 
geltend gemacht. 
Auf ähnliche Weise verhält es sich mit der Geometrie. Ihr Grundbegriff ist der des 
einfachen Nebeneinanderseins. Er entwickelt sich zum Begriffe einer Reihe, der Linie, wie 
dort die Zahlenreihe entstand; und gleich dieser gewinnt auch jene eine Unendlichkeit nach 
beiden Seiten und in ihrem Innern zwischen je zwei festen Puncten. Die Vorstellung des 
ganzen Raumes ist weiter eine Combination der Linien; das Geschäft der reinen Geometrie 
besteht aber darin, die Formen des Nebeneinanderseins , von den einfachsten zu den zusam- 
mengesetztesten, als Corabinationen von Linien zu verdeudichen. Ihre wissenschaftliche Grösse 
jedoch verdankt sie der Analvsis. Die Resultate der Betrachtung derselben sind dem Wesen 
nach dieselben, welche wir oben in Bezug auf die reine Grössenlehre gezogen. 
Hieraus begreifen sich Wirkung und Werth der mathematischen Zeichen. Ein beson- 
deres Zeichen ausser den Worten der Spraclie für einen Begriff zu adopliren, veranlasst oft 
das Bedürfniss der Kürze. Diess tritt aber nur da ein, wo ein und derselbe Begriff häufig 
wiederkehrt. So wendet der Physiker in der Elektricitätslehre die Zeichen -f-, — , E an, um 
die Worte positiv, negativ, Elektricität nicht immer wiederholen zu müssen, und Ahnliches 
finden wir anderwärts in ähnlichen Fällen. Der Mathematiker bedient sich auch keineswegs 
für alle seine Begriffe eigener Zeichen, sondern er gebraucht in seinen Werken oft Worte. — 
Andererseits, wenn er in der Lage ist, einen Begriff häufig anzuwenden, der noch kein eigenes 
Zeichen besitzt, erfindet er ein neues, ja er thut diess sogar lür bestimmte Zaiilen, wie es 
z. B. mit den Zeichen n , с geschehen. Da nun die mathematischen Grundbegrifi'e solche 
sind, die stets wiederkehren, so muss eine kürzere Bezeichnung derselben sich wohl lohnen. 
Ein anderer Vortheil der mathematischen Zeichensprache ergibt sich aus dem Umstände, dass 
der mathematischen Hauptbegriffe nur wenige sind, aus deren Combination unter einander 
und mit der unendlichen Zahlenreihe die abgeleiteten sich entwickeln. F^s sind also auch nur 
wenige Grund/eichen nothig, deren Bedeutung leicht behalten wird und deren leichtfassliche 
Combination die zusammengesetzten ergibt. Und gleichwie die Hauptbej^riffe nach einem 
einfachen Gesetze sich zu unendlichen Reihen von Begriffen entwickeln, z. B. zur Reihe der 
Potenzen, der Logarithmen, so bilden die Zeichen dieser Hegrilfe Reihen nach einer höchst 
einfachen Regel, und werden darum trotz ihrer unendlichen Zahl leicht gehandhabt. Die Wich- 
tigkeit der Kürze der Bezeiclmung zeigt sich am auffallendsten, wenn es durch sie möglich 
wird, eine grosse Älenge von Begriffen und deren Verhältnissen auf einmal mit Leichtigkeit 
