drei Dimensionen des Raumes. 
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Begriff aufgefasst werden soll, bestimmt wird, jeglicher andere Punct durch blosse Begriffe, 
die sein Verhältniss zu jenen vier Puncten ausdrücken, bestimmen lasse. 
Wild es wohl nöthig sein, mit einigen Worten noch zu zeigen, dass die so eben er- 
wiesene Wahrheit dem Lehrsatze von den drei Dimensionen des Raumes ^leichgilt ? Unter 
dem Letztern versteht man eigenthch den Salz, dass es drei, aber auch nicht mehr 
als drei auf einander senkrechte Richtungen aus Einem Puncte gebe. INun 
folgt schon daraus allein, dass es zu jedem Puncte a noch einen zweiten h gibt, es 
müsse aus jedem Puncte wenigstens Eine Richtung (ah) hervorgehen. Sind aber zwei Puncte 
a und b gegeben, so lässt sich eine unendliche Menge anderer (welche zusammen genommen 
die unbegrenzte durch a und b gehende Gerade ausmachen) vermittelst blosser Begriffe be- 
stimmen , namentlich jeder derselben x durch die blosse Angabe des Verhältnisses der Ent- 
fernungen ax und hx zu der gegebenen ah, sofern diess Verhältniss nur so geartet ist, dass 
eine von den drei Entfernungen ah, ax, hx der Summe der beiden übrigen gleicht. Gibt 
es jedoch zu je zwei Puncten a, h einen dritten c, der durch sein Verhältniss zu jenen 
beiden, sofern es durch blosse Begriffe aufgefasst werden soll, noch nicht bestimmt Avird: so 
folgt , dass с ausser der Geraden ah liege , dass somit die Richtung ac mit der ah weder 
einerlei noch ihr entgegengesetzt sei, sondern einen wirkhchen Winkel mit ihr bilde; und 
es ist leicht zu zeigen, dass es auch einen solchen Punct с gebe, für welchen die Richtungen 
ah und ac auf einander senkrecht stehen. Eben so lässt sich erweisen, es gebe abermal eine 
unendliche Menge von Puncten, die durch ihr blosses Verhältniss zu jenen dreien a, b, c, 
sofern dasselbe durch blosse Begriffe aufgefasst werden soll, bestimmt sind; es sind diess 
nämlich alle diejenigen, deren Inbegriff die unbegrenzte durch a, b, с gehende Ebene bildet. 
W^ofern es aber zu jedem Systeme von drei Puncten a, h, с noch einen vierten d gibt, 
der durch sein blosses Л erhältniss zu jenen, sofern es durch reine Begriffe dargestellt werden 
soll, noch nicht bestimmt ist: so folgt, dass der Punct d ausserhalb der Ebene ahc liege; 
und es ist nun ein Leichtes zu erweisen, dass es ein Loth aus d auf die Ebene ahc und eine 
diesem Lothe paralkl laufende Richtung aus а gebe, die mit den beiden ah und ac ein Sy- 
stem dreier auf einander senkrechter Richtungen darbeut. Gibt es endlich, wenn die vier 
Puncte a, h, c, d die angegebene Beschaffenheit haben, keinen fünften, der nicht durch 
einen blossen Begriff seines Verhältnisses zu jenen schon bestimmt wäre : so folgt, dass jede 
andere aus а hervorgehende Riohlung, welche auf zweien der nur eben gefundenen senk- 
recht aufsteht, mit der dritten entweder einerlei oder ihr entgegengesetzt ist; genau das- 
jenige, was in dem Lehrsätze von den drei Dimensionen des Raumes gemeint ist. 
