über die Kcttaibrüchenlinü. 



19 



АО \ t О M \ _ A E \ , E'ß \ ... . nxh 

 y ! • x \ = h \ d |.n,.lhiaisty = _ 



und die ähnlichen Dreiecke BPM, ВО 2 



PM\ . BP l . _ Щ . ВО I dah _ &a-x-) h 



und das Produkt beider Gleichungen liefert 



„ (2 a — x)xh 2 , 

 у 2 ~- , oder 



f-l h 2 = {2a—x)x\ {2a — g) g 

 welches eine bekannte Eigenschaft der durch die Punkte A, M, D' gezogenen Ellipse ist, 



Theilt man also die anstossenden Seiten OD' und E' D 1 des gegebenen Rechteckes 

 in eine beliebige Anzahl gleicher Theile, führt aus A die Sekanten Act, Aß und aus В durch 

 die Theilungspunkte I, 2 die Geraden В а, BM, so sind a, M Punkte des elliptischen Bo- 

 gens AD', zu welchem AB als grosse Axe gehört. Ist aber der Punkt О in C, oder ist А О 

 die halbe grosse Axe, so geht OD' in CD die halbe kleine Axe der Ellipse über, und man 

 erhält bei der vorigen Konstruktion, indem man nämlich im Rechtecke А С DE, die anstos- 

 senden Seiten ED, DC in den Punkten «', ß', y', 8', und 1, 2, 3, 4 beziehungsweise in gleich 

 viele gleiche Theile schneidet, aus A die Sekanten Aa', Aß', Ay', Ad' und aus В durch die 

 Theilungspunkte 1, 2, 3, 4 die Geraden Ba, BM, BD' und Bd zieht, den elliptischen Qua- 

 dranten AMD, und bei Wiederholung derselben im Rechtecke В С D F, ergibt sich auch 

 der elliptische Quadrant BD, sonach die halbe Ellipse A D B. 



Lässt man endlich im Rechtecke AECD (fig. 7) den Punkt В in der Verlängerung 

 von А С so sein, dass A zwischen С und В fällt, so erhält man durch dieselbe Konstruktion 

 eine Hyperbel A d с b a D , deren Scheitel in A und deren Axe А В ist. Denn zieht man 

 b P zu AE und b Q zu А С parallel, setzt AC=zg, CD — h, AP zz x , P b = y, AB 2a 



so erhält man erstlich 



АО) . Ob) AE) . JE 2) , Г _vxh 



I — l\ , i ; demnach у ZZ 



у \ ' X \ h\ ' ig y J g 



,. rl ř В P \ . Pb) _ ВС )' . Cß\ A c2n-\-,iMi 



hierauf hat man 0 , ! , ZZ ^ . ! i л > und у =1 1 _ 



2a+x\ y\ 2a-\-g\ % h j * n 



daher ist das Produkt dieser Gleichungen 



2 _^ (2 я + х) xM 



У { 2a-\-g)g. ' 



Wird der Punkt В unendlich entfernt angenommen, so werden die von diesem Punkte 

 durch die Theilungspunkte «, ß, у, d, gezogenen Geraden Ba, Bß, By, . . . einander parallel, und 

 die Kurve geht in eine Parabel über, wie die in §. 14 gegebene Konstruktion es erfordert. 



Es wird kaum nothwendig sein zu bemerken , dass wenn im Rechtecke die anstos- 

 senden Seiten gleich sind, bei dieser Konstruktion in (fig. 6) ein Kreis und in (fig. 7) eine 

 gleichseitige Hyperbel zum Vorschein kommt: ferner, dass wenn dieselbe Methode auf ein 

 Parallelogramm überhaupt in Anwendung gebracht wird, man dieselben Kegelschnittslinien, 

 allein auf ihre Durchmesser bezogen, erhält. 



3* 



