1 4 Christ. Dopplers V ersuch einer analytischen Behandlung 



für allemal festsetzen, dass in diesem Falle nur der dem unteren Grenzwerthe entsprechende 

 Functionswerth zu gelten habe, der obere hingegen exclusive zu betrachten sei. So ist z.B. 



die Function ^cp fxj^ nur des einzigen Werthes ф (2) iahig, wie dieses zwar schon aus der 



Natur der Sache selbst, noch mehr jedoch aus unserer so eben gegebenen Erklärung folgt. 

 In geometrischer Bedeutung drückt dieses Zeichen den der Abscisse 2 entsprechenden Punkt 

 der Curve aus, welche durch die Function <f fxj dargestellt wird. 



1С 



Der zweite jener Fälle findet dann statt, wenn sich an die Function ^ <jp (x) ^ d 

 <*" « 

 Function ^ y fxj^ so anschliesst, dass nebst der angezeigten Gleichheit des unteren Grenz- 

 et' 



werthes mit dem obern der folgenden Function auch noch: ф («') = f (a) ist, welches im 

 geometrischen Sinne darauf hindeutet, dass der Endpunkt der ersteren Linie cp (x) zugleich 

 der Anfangspunkt der zweiten ist, deren Ordinate durch f (x) ausgedrückt wird. Um ferners 

 anzuzeigen, dass einer Function ф (x) die vereinzeinten Werthe «, a, a", a" u. s. w. in Be- 



I et, а , et". . 



Zug auf die zu Grunde liegende Variable x zukommen, wird man schreiben : £ <p (x) ^ 



et, et' , et". . . . 



Dieser letztere Fall tritt z. B. jedesmal ein, wenn man die Wurzeln einer gegebenen Glei- 

 chung dadurch bezeichnen, oder mehrere isolirte Punkte einer Curve angehen will. Alles 



hier Gesagte gilt natürlich auch von dem Zeichen ^ ф (x) ^ . — 



ß 



Nach den bisher gepflogenen Betrachtungen scheint es im ersten Augenblicke völlig 

 gleichgültig zu sein, welcher der beiden Grenzwerthe unten und welcher oben geschrieben wird, 

 und so lange es sich nur um die blosse Ausscheidung gewisser Werthe der Function han- 

 delt, ist dieses allerdings auch der Fall. — Da aber die Grenzwerthe nebst dem Intervall 

 der möglichen oder unmöglichen Werthe auch noch die Ordnung, in welcher diese Func- 

 tionswerthe auf einander folgen oder in der sie gezählt werden, anzeigen: so ist es im All- 

 gemeinen und insbesondere bei jedem noch nicht bis zu Ende geführten Calcül durchaus 

 nicht erlaubt, eine Verwechslung dieser beiden Werthe willkührlich vorzunehmen. — 



Vielmehr wird es sich schon jetzt deutlich genug herausstellen, dass Ausdrücke wie : 



et а 



^ ф (x~) ^ und £ ф (x) ^ , sich bei jeder Summation und Integration , denen sie zu Grunde 



et et' 



gelegt werden, wie ein Zählen nach entgegengesetzter Richtung und mithin wie positive und 

 negative Grössen zu einander verhalten. Der wissenschaftlichen Bestimmtheit wegen soll 



