der verschiedenen Probleme der Geometrie descriptive etc. 35 



hungswinkel immer gleichen Abstand von dem Drehungspunkte behält und somit von selben 

 ganz unabhängig ist. 



Es sei Fig. 10, О irgend ein Punkt des Systems, dessen Coordinaten wir mit x, у 

 bezeichnen wollen. Die Coordinaten des Drehungspunktes M in seiner anfänglichen Lage 

 seien AP — d, PMzzl8\ MR sei fernere mit der Abscissenachse parallel gezogen. Der Win- 

 kel, welchen die Verbindungslinie О M mit der Abscissenachse oder mit M R macht, heisse 

 со. Drehet sich nun das ganze System und somit auch der Punkt О um den Winkel n, wo- 

 durch O z. В. nach (У kommt, so sind die neuen Coordinaten des Punktes О jene von 0' , 

 d. h. wenn die neuen mit | und v bezeichnet werden, so hat man v=iO'Q'; £ — AO'. 



Da nun aber", wie aus der Natur der Drehung folgt ОМ — О M sein muss, so erge- 

 ben sich hieraus nachfolgende Beziehungen: 



ON— GM sin (со + q) ; 



MN=OMCcs(co + q); fernere: 0'M=z OM=y/ (y—à)--\-(y—d) 2 ; also 



durch Substitution: 



sin (со -4- p) Ces (co -f- p) 



. O'N = ^ Щ— = : und MN — 



^(y-8)- + (x-d)> y (y-8)- + (x-dy 



Anderseits ist aber tang со ■=. - — — ; da nun 



, i i tan S <P + tan S Q (У~ 8 ) Ccs Q + (x—d) sin g 



tang (со + Q] ~ 1 = - j—p, гг — : ; 



а 4 '.. ; 1 — tang со, tang q (x — d) Ces q — (y—8) sin p 



tang (со + q) fy—ô)CcsQ + (x—d)sinp 



Wegen : sin (co -\- q) = 



Ces (ф + q) 



y.t-f *<т£ы$! v (x-d)*+ (y- ty 



1 (x — d) Ces q — (y — dj si?i ç ; und 



уі+н(»+?) 2 V (*- d ) % + (у-*Г- 



und hieraus findet man mittelst Zuziehung der Werthe für (У N und MN, 



0'N=. (y — 8) Cos q + (х-. — d) sin q; und MN= (x — d) Cos q — (y — 8) sin q. 



Da nun offenbar wie die Figur zeigt: | = d -f- NM, und v = 8-j-0'N, so hat man als die 



neuen Coordinaten des Punktes O: 



I z= d -\- (x — d) Ces q — (y—8) sin q ; und v = 8 -f- (y — 8) Ces q -f- (x — d) sin q. 



Verlegt man ferners noch vor oder nach der Drehung den Drehungspunkt M nach M und 



bezeichnet man die Coordinaten von M mit ď und 8' , so wie die neuen dieser Aenderung 



entsprechenden des Punktes O" mit x und y ; so hat man wegen : 



x' = ^-\-ď — d; und y — v -J- 8' — 8, ganz allgemein: 



x = d -f- (x—d) Ces q — (x—8) sin q ; und y = 8' -f- (x—8) Ces q -\- (x—d) sin q ; 

 und diess sind nun die gesuchten Ausdrücke für die neuen Coordinaten eines beliebigen 

 Punktes nach erfolgter Drehung und gleichzeitiger Verlegung des Drehungspunktes. 



Bestimmt man in obigen Ausdrücken x' — d und y — 8' und multiplicirt sie mit den 

 entsprechenden Werthen Cos q und sing, so erhält man durch Addition und Subtraction 



