42 



Christ. Doppler s Versuch einer analytischen Behandlung 



$. 32. 



2. Aufgabe. Ein Punkt bewege sich mit einer gewissen Winkelgeschwindigkeit auf 

 dem Umfange einer gegebenen Ellipse, welche sich dreht, und deren eine Brennpunkt sich 

 mit gegebener Geschwindigkeit auf dem Umfange einer anderen gegebenen Ellipse fort« 

 bewegt. Wenn sich nun auch diese Ellipse auf gleiche Weise mit eigener Geschwindigkeit 

 dreht und auf einer dritten Ellipse sich fortbewegt u. s. w., so fragt es sich: 



a) welches ist der Ort, d. h. welche sind die Coordinaten des anfänglichen Punktes, und 



b) wie findet man die Gleichung des durchlaufenen Weges unter der Voraussetzung, 

 dass die Anzahl der sich also bewegenden Ellipsen gleich n ist? 



Man denke sich anfanglich die erste Ellipse mit ihrem Brennpunkte als Pol in den Ur- 

 sprung des Coordinatensvstems gebracht, und ihre grosse Achse mit der Abscissenachse zu- 

 sammenlaufend, so ist bekanntlich deren Polargleichung:' 



и zzz ~l g ' ; wo a, die halbe grosse Achse, <i, den Polarwinkel und tzz:— 



1 — f г tos <г х ° a 1 



bedeutet; e, bedeutet endlich die halbe Excentricität. 



Man nehme hier, wie es die Aufgabe erheischt, den Focus als Drehungspunkt an, 

 d. h. man setze in А) I), d—c, d-=zc. Wenn nun x , y, die Coordinaten eines bestimmten 

 Punktes im Umfange der verlegten Ellipse bezeichnen, so hat man wegen: 



xz=.u Ccs(f t ; yzzLii sinq l , und и — — " * ) ; offenbar 



1 — f x Cos «Pj 



l ' ' . ^ ^ ^ ^ , Ces op § i • • 



) 1— fj Cos <t x ' 1 I vor der Verlegung oder Dislocation der Ellipse; und 



i Ojd — f,-') / durch Substitution dieser Werthe in A. I. (l.)und nach 



1— t 1 Losq l J einer einfachen Beduktion : 



C2.) I ß (1 — * ■) nach \erlegung derselben; 



UiTuÏt ™>(Ь+9г)\ 



und die Gleichung des Punktes selbst gemäss unserer eingeführten Bezeichnungsweise: 



<»•> i = ( ' + Шт )) ï * + Г))] 



Aus den beiden Gleichungen (2) folgt unmittelbar durch ihre Verbindung noch die folgende : 



(x — ď) -4- Ç ij -j- 8' = Г-^ — ~ — ~1 ; woraus man deutlich sieht, dass die 

 V i/ ч i/ L 1 — { i CosvjJ 



Formeln für die Dislocation ihre ganz richtige Anwendung gefunden haben. W obei natürlich 

 noch von jeder Abhängigkeit zwischen g t und (>j abgesehen wird. 



Lässt mau nun den Drehungspunkt oder Fokus dieser Ellipse auf gleiche Weise auf 

 einer zweiten im Allgemeinen von ersterer verschiedenen Ellipse sich bewegen, die sich zu- 

 gleich dreht, so muss man nun zwischen den Grössen ď , Ö' , dieselbe Bedingungsgleichung 



