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Christ. Dopplers Versuch einer analytischen Behandlung 



§• 36. 



6. Aufgabe. Man soll mittelst der Gleichung für die gemeine Parabel, die Gleichung 

 einer parabolischen Curve mit zwei Wendungspunkten ableiten ? — 



Diese Aufgabe, welche sich besonders dazu eignet, die Brauchbarkeit der Disloca- 

 tionsformeln in allen jenen Fällen vor Augen zu legen, wo man sich genöthigt sieht, in Er- 

 mangelung geeigneter krummer Linien, solche theihveise aus bekannten einfacheren zusam- 

 men zu setzen, bedarf zur Verständigung noch Folgendes. 



Es sei Fig. 19. ВАС eine gemeine Parabel, deren Brennpunkt in F sich befindet. 

 An den Endpunkten der im Focus errichteten Ordinaten seien zu der Curve die Tangenten 

 G I und HE gezogen. Denkt man sich nun das unterhalb der Abscissenachse liegende Stück 

 der Parabel HB dergestalt nach GM verlegt, dass die mit dem Parabelstück unveränderlich 

 verbundenen Tangenten auf einander fallen, und die Convexität der Curve gegen die Ab- 

 scissenaxe zugekehrt ist, so erhält man, wenn mit dem Curveňaste G С ein Gleiches ge- 

 schieht, eine Curve, welche in allen ihren Theilen der Parabel angehört, aber in G und H 

 einen Wendepunkt hat, und deren Aeste oder Zweige im Gegensatze zu der gewöhnlichen 

 Parabel immer mehr der senkrechten Lage zustreben. Die Gleichung dieser neuen Curve 

 wird nun auf folgende Weise erhalten : 



Da für die Gleichung der gemeinen Parabel y — p oc, bekanntlich tgw=z~ =■ ~~, 

 und somit für y—%, tang со = 1 oder co = 45° ist, so hat man, da bei der Dislocation der 

 Bögen, eine Drehung um den Winkel = 2 со und somit um 90°, und eine Verlegung des 

 Drehungspunktes von el—\, 8— — \ nach et — ?, d' = f erfolgt, offenbar als Gleichung 

 der besprochenen Curve : 



p p p r 



wegen У = ^ Ѵря^ ы £ Ѵря^ ; У-=.£У/**-^ « J™° £ Ѵря\ ■ 



О р О /> _/> P 



■ ■ ï î' S 4 



wendet man nun hierauf die bekannten Formeln an, so erhält man nach Ausführung der 

 angezeigten Operation: 



• _? oc 



(1.) y = ^^z\^p^ ^ » тЬ л ~ H" l ~r~ TS P ^ ; welches die Gleichung der in Fig. 19 



0 p 



dargestellten parabolischen Curve ist. Es ist endlich begreiflich, dass man die vorgenommene 

 Veränderung mit der Parabel auch an jedem anderen Punkte und zwar beliebig oft hätte 

 vornehmen können. 



% 37. 



Die im letzten Paragraphe des vorigen Abschnittes ausgesprochene Bemerkung bie- 

 thet ein sehr bequemes Mittel dar, die Gleichungen für die Polygone unter einer anderen 



