der verschiedenen Probleme der Geometrie descriptive etc. 59 



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(i.) ^(«,v.+**V. + 1=0 ) 



In diesem Falle sind daher von den 6 konstanten Grössen '2n durch die Bedingungs- 

 gleichungen bestimmbar, uud somit nur in wirklich unbestimmt. Ist die Figur nicht ge- 

 schlossen, so ist die Anzahl der noch unbestimmten Grössen offenbar ßn-\-ZJ. 



Liegen sie noch überdiess alle in derselben Ebene, so hat man nebst den Gleichun- 

 gen der Systeme (1) und (2) auch noch folgenden (3) Geniige zu leisten : 



ЫУ Ja, + Bb„ +C = 0 

 Es sind mithin diessfalls, wegen einem Zuwachse von 3 neuen Constanten, nur noch 

 mehr 3 n -f- 3 jener Grössen als unbestimmt ansehen. Liegt endlich nur eine Partie dieser 

 Linien in einer Ebene, andere hingegen in einer zweiten Ebene, so hat man nachfolgende 

 Bedingungsgleichungen an der Stelle von (3) aufzustellen : 



(4.) fi/j \^+B, t +D=0 j — p/jY" t **JVf»«se| 



Щ i Aa s + B h + c = 0 1 Ш K+ »i + p = « i 



welches nach unserer früheren Feststellung der Zeichen ausdrückt, dass die 1., 5., 6., '(., 

 '•)., 10., IL, 12., 13., 14., 15. Linie in einer, und die 2., 3., 4„ 8., 16. bis n. in einer zwei- 

 ten von ersterer verschiedenen Ebene liegen. Diese wenigen Aufgaben reichen schon hin, 

 um die Anwendbarkeit unserer Bezeichnung auch bei Untersuchungen im Baume hinreichend 

 vor Augen zu führen, indem das Prinzip der willkührlichen Begrenzung auch auf ganz gleiche 

 Weise sich bei Linien mit doppelter Krümmung anwenden lässt. Demnach liesse sich z. B. 

 ohne Schwierigkeit die Gleichung für die Kanten irgend eines Polyeders, wie etwa des Do- 

 dekaeder s aufstellen, oder überhaupt die Gleichung einer jeden aus geraden und krummen 

 Linien wie immer zusammengesetzten räumlichen Figur bilden. Von ganz anderer Beschaf- 

 lenheit sind dagegen die Gleichungen willkührlich begrenzter Flächen im Baume, sie mögen 

 nun eben oder krumm sein. Die Möglichkeit ihrer Aufstellung hängt unmittelbar und zu- 

 nächst damit zusammen, die Gleichung einer beliebigen von geraden, krummen oder ge- 

 mischten Linien begrenzten Fläche in der Ebene aufzustellen. Eine Aufgabe, die. uns nun 

 sogleich im nächsten Paragraphe beschäftigen soll. 



S- 43. 



Eine dem ersten Anscheine nach ziemlich unfruchtbare Aufgabe ist die Aufstellung 

 einer Gleichung für die Fläche irgend einer in der Ebene liegenden Figur. Man hat sich, 

 wie ich schon in der Einleitung Gelegenheit fand zu bemerken, unter dieser Gleichung 

 keineswegs die Formel für den Flächeninhalt dieser Figur zu denken, sondern sie ist recht 



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