60 Christ. Doppler s Versuch einer - analytischen Behandlung 



eigentlich die Gleichung für sämintliehe Punkte dieser Fläche mit steter Rücksicht auf ihre 

 Begrenzung. 



Die Gleichung einer gewissen Fläche, z. B. einer gegebenen Dreiecksfläche finden, 

 heisst demnach nichts anderes, als eine solche Funktion auffinden, welche die Ordinaten der 

 sämmtlichen, der Abscisse x entsprechenden Punkte angibt. So müsste man z. B. in Fig. 20 

 aus der, die Fläche ABC repräsentirenden Funktion für x—ep oder cp die Ordinaten der 

 sämmtlichen diesen Abscissen entsprechenden Punkte, d. h. aller zwischen m und m oder 

 im zweiten Falle zwischen n und n liegenden Punkte der Fläche entnehmen können. Da 

 aber begreiflicher Weise in allen diesen Fällen es unendlich viele Punkte gibt, die alle der 

 nämlichen Abscisse entsprechen und die zugleich der Fläche angehören, so ist eine Angabe 

 derselben nur dadurch möglich, dass man die Grenzen feststellt, zwischen welchen sie liegen. 

 Man müsste demnach in Bezug auf unser angeführtes Dreieck sagen , dass alle der Abscisse 

 о p entsprechenden Punkte des Dreieckes zwischen m und ní und somit auch ihre Ordinaten 

 zwischen mp und m'p liegen , und dass das Gleiche mit den Grenzwerthen np und n'p be- 

 züglich der Abscisse cp zu gelten habe. Da die beiden Grenzwerthe immer von je zwei 

 geraden oder krummen Linien ausgehen, von denen die eine, unserer Bezeichnung gemäss 

 ein Progress, die andere dagegen ein Regress genannt werden muss, so wollen wir hier, wo 

 wo wir im Begriffe stehen, Anwendung von ihnen zu machen, die schon früher gegebene 

 Erklärung dieser Begriffe durch nachfolgende Bemerkungen ergänzen. 



Unter einem Progresse versteht man jedes beliebige Stück des oberen, d. h. von der 

 Abscissenachse mehr entfernten Theils des Umfangs einer Figur, in wie ferne es in der Rich- 

 tung von der Ordinatenachse geradeweg und somit im ersten Quadranten links gegen rechts 

 gezählt wird. Regress hingegen heisst jedes Stück des unteren, d. h. der Abscissenachse näher 

 liegenden Theils des Umfangs, in wie ferne es gegen die Ordinatenachse zu, und somit 

 z. B. im ersten Quadranten von rechts gegen links gezählt wird. Hieraus sieht man nun, 

 dass die ganze Folge von Progressen von sämmtlichen Regressen durch zwei Ordinaten ge- 

 schieden werden, von denen die eine der kleinsten, die andere hingegen jederzeit der gröss- 

 ten aller Abscissen entspricht. Bei Figuren, die bloss aus geraden Linien zusammengesetzt 

 sind, können diese Werthe für die grösste und kleinste Abscisse bei jeder Stellung gegen 

 die Abscissenachse aus den Grenzwerthen der Seiten selbst unmittelbar entnommen werden, 

 so wie dieses auch bei allen jenen, aus geraden und krummen Linien zusammengesetzten 

 Figuren der Fall ist, bei welchen die Anfangs- und Schluss - Progresse gerade Linien sind. 

 In diesen Fällen entspricht immer der kleinste und grösste vorkommende Grenzwerth zugleich 

 auch dem kleinsten und grössten Werth der Abscissen, oder sind diese vielmehr selbst. 



Anders dagegen verhält es sich, wenn das Anfangs- oder Schlussglied der Progresse 

 eine krumme Linie ist. In diesem Falle besteht diese Linie aus einem Theile der zu den 

 Progressen, und aus einem andern, der zu den Regressen gezählt werden muss, und es 

 bleibt nichts anderes übrig, als das Maximum und Minimum der Abscisse x nach den Hilfs- 

 mitteln, welche die DifTerenzialrechnung darbietet, zu bestimmen. Die in Fig. 21 und Fig. 22 

 dargestellten Fälle veranschaulichen das Gesagte, und machen bemerklich, dass zwar in 



