der verschiedenen Probleme der Geometrie descriptive etc. 61 



Fig; 21 sämmtiiehe Grenzwerthe schon durch die Gleichung der Figur, in Fig. 22 hingegen 

 zwar die Grenzwerthe bezüglich der Punkte В, k, und E, g, so wie auch der übrigen Ver- 

 einigungspunkte, keineswegs jedoch auch jene der Punkte A und F gegeben sind, sondern 

 letztere erst auf dem angezeigten Wege gefunden werden müssen. 



S. 44. 



5. Aufgabe. Man soll die Gleichung für die Fläche eines Polygons von n Seiten 



finden? 



Es sei nun die Gleichung des Polygons, für deren Fläche die Gleichung gesucht 

 werden soll, die folgende: 



r> n a 

 SI T С V +l V — V 

 У — (j(J \ U 4 x+VA . wo bekanntlich a q = _S — ist; 



е. 



[Nimmt man nun an, dass sämmtiiehe Disjunctivglieder vom ersten bis zum т/ ,еп inclusive 

 Progresse, und von diesem wieder bis zum ?i ,en inclusive Regresse, so wird obige Gleichung 

 in seine Progresse und Regresse zerlegt, folgende Form annehmen: 



n a n -'i - a 



wobei offenbar der kleinste Werth von ,r = rc l =a n+i , und der grosste gleich « +J ist, als 

 obere Grenze des tj ten Gliedes. 



Da nun in der Gleichung für die Polygonsfläche jedem Werthe von x unendlich 

 viele von у entsprechen, und es somit unentschieden oder unbestimmt bleibt, welcher der 

 unendlich vielen Werthe von у der gemeinte sei, so muss die Ordinate y mit dem Charakter 

 der Unbestimmtheit bezeichnet werden, und somit offenbar y =r g gesetzt werden. Aber diese 

 Unbestimmtheit hat ihre ganz bestimmten Grenzen, und um sie daher zu beschränken, wer- 

 ft 



den wir schreiben у — ^ о Durch dieses Symbol wird nun angezeigt, dass ein gewisses 

 ßi 



у aller Werthe zwischen у — ß l und y = ß 2 fähig sei. Sind nun diese Grenzen selbst Funk- 

 tionen der Abscisse x, so eignet sich dieser Ausdruck ganz zum allgemeinen Repräsentanten 

 sämmtlicher Punkte der Polvgonsfläche, oder auch irgend einer anderen Fläche. Dem Ge- 

 sagten zu Folge hat man demnach, ohne einer weiteren Rechtfertigung zu bedürfen: 



*> n et • a 



(10 y— fyJ Qj ç x + r v ^ £ 8 ^ £ U q X + V q ^ ; als Gleichung einer Poly- 



gonsfläche von n Seilen. 



Wendet man diese Formel auf das schon mehrmals erwähnte Fünfeck an, so hat 

 man, die Gleichung des Fünfecks als bekannt vorausgesetzt: 



