dir verschiedenen Probleme der Geometrie descriptive etc. 6 3 



Nach dieser Digression wollen wir nun sofort wieder zum eigentlichen Gegenstande 

 unserer Betrachtung zurückkehren. 



§• 46. 



Die im vorletzten Paragraphe aufgelöste Aufgabe: „Die Gleichung irgend einer, wie 

 immer begrenzten Fläche, in so ferne sie in der Ebene liegt, zu finden," setzt uns nunmehr 

 auch in den Stand, nicht nur die Gleichung irgend einer beliebig begrenzten ebenen Fläche 

 im Räume aufzustellen, sondern verhilft uns auch zur Gleichung einer wie immer begrenzten, 

 krummen Fläche im Räume. 



Es sei demnach z—Xp (x,y) die allgemeine Gleichung irgend einer krummen Fläche 

 im Räume, und .yzzz F (ас) die allgemeine Gleichung einer in der Ebene x у liegenden Curve 

 oder wie immer zusammengesetzten Figur t t í„ f 3 , . . . . Fig. 2-3, als horizontale Projektion 

 der auf der krummen Fläche liegenden, und einen Theil derselben begrenzenden Curve von 

 doppelter Krümmung E, E 2 E 3 ....E n . — Bezeichnet man nun àmcVi f (x) alle progressiven 

 Disjunctivglieder und durch f (x) sämmtliche Regresse, so hat man offenbar: 



y—F(x)—f(x)(af'(x)\ und nach dem Paragraphe (44) hat man demnach als all- 

 gemeine Gleichung der Fläche E l Е г Е л . ... Е п л 



у — f (x) ^ g ^ f (x) ; aber schon in dem angeführten Paragraphe wurde gezeigt, 



dass y=-.% ist. D*a nun bei der Gleichung einer krummen Fläche sowohl x als auch y ab- 

 solut, und daher y nicht mehr wie oben relativ veränderlich ist, so ist es vorzuziehen, statt 

 %, y zu setzen, wesshalb, der Begrenzung von y wegen, die Gleichung der krummen Fläche 

 unter folgender Form erscheint: 



z—ц (\x,f(x) ^y^ffxj^i und da im Allgemeinen auch x begrenzt ist, so erhält 



man , wenn die gemeinschaftlichen Grenzen sämmtlicher x durch a, und a 2 ausgedrückt 

 werden : 



(1.) z — ^Jf{x,f (x)^y~^f (x))^ \ als allgemeine Gleichung einer jeden begrenzten 



krummen Fläche. Wir wollen nun das hier Gesagte auf einige mehr specielle Fälle an- 

 wenden. 



*§. 47. 



6. Aufgabe. Man suche die Gleichung einer durch ein Polygon begrenzten Ebene, 

 wenn die Gleichung der Ebene und jene der Projektion des Polygons gegeben ist? — 



Nach Paragraph (44) ist die Gleichung der Polygonsfläche, wenn die Progresse vom 

 l ,en bis 7j ,en Gliede gehen: 



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