der verschiedenen Probleme der Geometrie descriptive etc, 69 



Punkte, nämlich die Gleichung einer Kreisflache. — Verbindet man dagegen die Gleichungen 

 zweier Körperräume z. B. jene eines Ellipsoides und einer Pyramide, so erhält man die 

 Gleichung desjenigen Kürperraums, der ihnen gemeinschaftlich ist. Da man nun aber mit 

 Leichtigkeit von dieser Gleichung auf jene für die Oberfläche und von der auf die Glei- 

 chung der Kanten und noch weiter selbst auf jene der Ecken zurückgehen kann: so enthält 

 diese Gleichung gewissermassen alle andern genannten Gleichungen involvirt in sich, und 

 kann daher als der vollendetste Ausdruck oder analytische Repräsentant aller räumlichen 

 Verhältnisse eines Körpers angesehen werden. — Bemerkt kann endlich noch werden, dass 

 das endliche Integral von dem Unterschiede zwischen ihren Progressen und Regressen sofort 

 auch noch den Raumesinhalt des Körpers liefert. 



Um nun die Methode, zu derlei Gleichungen zu gelangen, wenigstens doch an einem 

 Beispiele zu zeigen, möge nachfolgende Aufgabe hier noch eine Stelle finden: 



I 52. 



Aufgabe. Man suche die Gleichung für den Körperraum einer Kugel? 

 Es sei die Gleichung für die Oberfläche einer Kugel, deren Mittelpunkt in der Achse 

 z liegt: х- -\~ y- -f- (z — Ä) 2 = r 2 ; so hat man vorerst: 



z — h -f- y/V- — ix : -\-y 2 ^; und somit: 



СІ.) i=c (h+ VA 2 — (^-+y 3 )^) ^ (h — \/г г — 0 2 -|"у\Г) ; als Gleichung des 



Kugelraums ohne Begrenzung. 



Da nun x absolut, dagegen у relativ veränderlich ist, so muss noch durch eine 

 Gleichung die Abhängigkeit des у von x ausgedrückt werden. Diese ergibt sich, indem man 

 in obige Gleichung z — h setzet, so erhält man: x" -\- y" = r 2 , und somit y — -4-^/ r 1 — x^~\ 

 da nun x, wenn gleich absolut, doch nicht unbegrenzt veränderlich ist, viemehr stets zwi- 

 schen — r und -f- r liegen muss; so hat man vorerst: 



r 



y = j/r 2 — x-^ ; und indem man diese Begenzungen in Gleichung (1.) 



— r , 



einführt, erhält man : 



-X' — 



(2.) z=^A+[r*-^_(v/r 2 _^)^(-V/r 2 -^)] 4 )^8^(A- [r 

 welche Gleichung jene für den Körperraum einer Kugel ist. 



