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Christ. Dopplers Versuch einer analytischen Behandlung 



VII. Abschnitt. 



Einige Aufgaben über die Rectification, Quadratur und Complanation zu~ 

 sammeng eselzt er und begrenzter geometrischer Objecte. 



$. 53. 



Die bis jetzt eingeführten und aufgestellten Gleichungen für zusammengesetzte und 

 begrenzte geometrische Objecte erweisen sich auch bei der Anwendung der Integral- 

 Rechnung auf ihre Rectification, Quadratur und Cubatur als wahre Gleichungen des durch 

 sie gezeichneten Gegenstandes, indem dieselben nach den gewöhnlichen Vorschriften und 

 Formeln behandelt, zu Resultaten führen, welche mit der Wahrheit und der Natur der Sache 

 vollkommen übereinstimmen. Indem ich mich aber rücksichtlich des Verhältnisses zwischen 

 einer begrenzten Funktion und einem bestimmten Integrale, so' wie auch des Einflusses eines 

 Integralzeichens auf die Disjunctivglieder u. s. w. auf das schon im zweiten Abschnitte hier- 

 über Gesagte berufe, kann ich doch nicht umhin, im Verlaufe der folgenden Aufgaben einige 

 Bemerkungen als Ergänzung des bereits hierüber Gesagten gelegenheitlich beizufügen, 



§• 54. 



1. Aufgabe. Man soll ein Polvgon von n Seiten, dessen Gleichung gegeben ist, rek- 

 tificiren, d. h. den Umfang desselben finden ? — 



Es sei die Gleichung des gegebenen n Ecks: y — (y(J\^ ^4 X ? 



Q 



Zufolge der bekannten Formel ist aber s =f\/dx 2 + dy* = Jdx y/1 — 



Nun ist aber offenbar : — U 0 , und da sich die Grenzen a und a lediglich bloss auf x 



und durchaus nicht auf dx beziehen können zufolge des Begriffes dieser Grösse; so hat 

 man ganz allgemein: 



=fflfdx\/ i~~u; = ßy({*V 1 + и $ + с У da nämlich Щ 



von X 



völlig unabhängig, und der Bedeutung nach — tang оз^ ist. Zur Bestimmung der Con- 

 stanten reicht auch hier die gewöhnliche Bemerkung hin, dass für X — a^ oder dem An- 

 fangswerth eines Disjunctivgliedes olfenbar der diesem Gliede entsprechende Werth von s gleich 



somit 



Null ist. Man hat daher diessfalls 0 = fyj a Q V^l + Coder C =— «Д/і— 0JÎ 



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