72 



Christ. Dopplers f 'ersuch einer analytischen Behandlung 



n a j_ n а 



und endlich: 



n a 



Um nun die Constante С zu bestimmen, berücksichtige man den Umstand, dass für .rm«^ 

 d. h. dem kleineren Grenzwerth eines jeden Gliedes, offenbar dieses Glied selbst Null ist, 

 und somit: 



n а na 



und durch Substitution: 



(2.) F= ^(±^\l\{x-—a^)-^ V Q {x-a^ Y als Gleichung für den 



. > 

 Flächeninhalt eines n Ecks. 



Es ist jedoch hierbei, so wie auch in Bezug auf die erste Aufgabe ausdrücklich zu 

 bemerken, dass in allen jenen Fällen, wo der statt x zu setzende spezielle Werth die obere 

 Grenze übersteigt, man dafür diese obere Grenze seilest zu setzen habe, wie dieses die nun- 

 mehr modiiizirte Bedeutung von x unabweislich fordert. 



Das doppelte Vorzeichen bezieht sich auf den Umstand, ob das entsprechende Glied 

 ein Progress oder ein Begress ist, d. h. ob « ? <ütt oder a ç ^> ist. Im ersteren Falle 

 gilt -j- , im zweiten hingegen — . Dieses stimmt auch alles recht gut mit der Natur der 

 Sache zusammen, indem wie Fig. 25 zeigt, die B.egresse, die sich als Trapetze darstellen 

 von jenen, die den Progressen entsprechen, nothwendig abgezogen werden müssen. Hei Po- 

 lygonen dagegen, die zum Theile oberhalb, zum Theile unterhalb der Abscissenachse liegen, 

 wie z. B. in Fig. 26 verkehren sich die Zeichen abermals und die Begresse, die unterhalb 

 der Abscissenachse liegen, werden wegen ihrer negativen Ordinate y ohne weiteres Zuthun 

 als blosses Ergebniss der Formel wieder positiv, wie es auch in der Thal sevn muss. 



Setzt man in den vorigen Ausdruck für x den grössten vorkommenden Grenzwerth, 

 er heisse a , so findet man, wenn das oben Gesagte in Bezug auf Deutung der Formel be- 

 rücksichtigt wird, als Flächeninhalt des ganzen Polygons: 



(3.) F — 



