Geschichte der Gesellschaft. 
man ferner diese letzteren mit den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 . . . von der Spitze an- 
fanjjcnd und von der Linken zur Rechten in horizontaler Richtung iortschreilcnd ; so sieht 
man leicht ein, dass die Felder an der rechten Seite des Dreieckes die Quadrate der natür- 
lichen Zahlen enthalten müssen. Um nun die Pnmzahlen von anderen Zahlen besser zu unter- 
scheiden, kann man die Felder, wo sie vorkommen, mit schwarzer Farbe (Dinte) überziehen, 
oder mit Strichen bezeichnen (straliiren) ; die Figur 2, welche nach einem kleineren Massstabe 
entworfen wurde, enthält so sänimtlichc Primzahlen, welche in den ersten 10000 natürlichen 
Zahlen vorhanden sind, F^in Blick auf diese Figur überzeugt uns bald, dass die Primzahlen 
nicht zufällig unter einander geworfen erscheinen, sondern gewisse Gruppen bilden, welche 
allem Anschein nach periodisch sich Aviederholen. 
II. Eine zweite graphische Construction der Prhnzahlcn bietet das rechtwinklige 
Dreieck, Figur 3 und 4, dar, dessen Katheten jede n, die Hypotenuse 2« — 1 gleicher Theile 
enthalten. Zieht man durch die Theilungspuncte Linien zur kürzeren Kathete und zur Hypo- 
tenuse parallel, ferner eine dritte Reihe paralleler Linien, die unter einem Winkel von GO 
Graden die Hypotenuse treffen, so zerfallt das ganze Dreieck in in — 1) (2n — I) gleichseitige 
und in n gleichschenklige Dreiecke, welche zusammen 2« [n — I) Felder geben. Besetzt 
man diese mit den auf einander folgenden ungeraden Zahlen I, 3, 5, 7, 9 ... von der Linken 
zur Rechten, so treffen in die ungleichschenkligen Dreiecke die Quadrate der ungeraden Zahlen 
], 9, 2i, 40, 81 . . und man kann, indem man die Felder, in welchen die Primzahlen zu 
stehen kommen, auf irgend eine Weise bemerkbar macht , sofort die Gruppen bestimmen, 
nach welchen sich die Primzahlen ordnen lassen. Die Figur 4 enthält alle so geordnete 
Primzahlen unter 10000. 
HI. Da unter je 300 natürlichen Zahlen es nur SOO.J. i-l— 80 Zahlen gibt, welche 
durch die Zahlen 2, 3 und 5 nicht thcilbar sind, so kann man auch aus der Reihe der natür- 
lichen Zahlen den grössten Thcil derselben ausschliessen . indem man ein Netz von 80 hori- 
zontalen und einer beliebigen Anzahl vertikalen Linien verzeichnet, und die quadratförmigen 
Felder desselben von oben abwärts mit den auf einander folgenden ungeraden Zahlen , die 
weder din ch 3 noch durch Ь thcilbar sind, besetzt und hierunter diejenigen bemerkbar macht, 
welche Primzahlen sind. So geordnete Primzahlen stellt die Figur 5 dar: sie enthält, wie 
die Figuren 2 und 4, sämmtliche Primzahlen unter 100Û0. Die oberste horizontale Zeile ist 
mit den Zahlen 0, 3, G, 9, 12, Ib, 18 . . zu besetzen, unter denen die Figur 5 nur jede öte 
cnthäh, und die erste vertikale Spalte ist mit den Zahlen Ol, 07, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 
37 , . auszufüllen, von denen abermals', wegen Mangel an Raum, nur jede fünfte angeschrie- 
ben ist, und man findet am Orte des Zusammentreffens der durch die Hunderte in der ober- 
sten Zeile, und die Einheiten und Zehner in der ersten verticalen Spalte gezogenen Linien 
den Ort der gesuchten Zahl, z. B, 3037 ist eine Primzahl, weil die durch 30 und 37 gezo- 
genen 2 Linien sich in einem strafFirten Quadrate trefien. Die Gruppen, welche die Prim- 
zahlen in dieser Figur bilden, sind allerdings von jenen in Fig. 2 und í verschieden , allein 
eine gewisse Ordnung ihrer Aufeinanderfolge, und sonach auch ihre Gesetzmässigkeit lässt 
sich kaum verkennen. 
