556 Christ. Doppler s Versuch einer Erweiterung der analytischen Geometrie 
metrie erst moi^lich, nicht nur Puncte , Linien ^ Flächen und Körper in hehebijjcr La^^e zu 
einander, und somit als gleichzeitig im Coordinaten-Ilaume bestehend, d. h. ganze Svslenie 
derselben durch (ílcichungen darzustellen, sondern sie erlangt zugleich dadurch auch ein Mit- 
tel, sich die Gleichungen beliebig zusammengesetzter Figui eu , Flächen und Körper zu ver- 
schalTen, und sie nach den gewöhnlichen analytischen Hegeln der weitern Untersuchung so- 
fort zu unterziehen. — Es wurde schon weiter oben ausdrücklich erwähnt, dass wir im All- 
gemeinen bei einer begrenzten Function stets voraus setzen werden, dass sowohl der untere 
als auch der obere Grenzwerth inclusive zu verstehen sey. In zwei Fällen aber leidet diese 
Voraussetzung eine nolhwendige, aus der Natur der Sache selbst iliessende Ausnahme, Der 
erste dieser Fälle tritt ein, wenn die beiden Grenzwerthe, der obere und untere, gleich gross 
sind. In diesem Falle nun, wo der Function als Object ein Punct entspricht, niuss eben, 
weil nur das Bestehen eines einzigen Werthes ausgesagt wird, und die obere Grenze mit der 
untern zusammenfällt, die obere Grenze exclusive genommen werden. — Der zweite Fall tritt 
dann ein, wenn zwei Disjunctiv-Glieder solche Grenzwerthe haben, dass der untere des einen 
Gliedes dem oberen Grenzwerthe des andern gleich ist, und für diese Werthe beide Func- 
tionswerthe selbst einander gleich werden. In geometrischer Beziehung entspricht dieser Fall 
dem Zusammenstossen zweier Curven, wie in Fig. 11 und Fig. 12. Gleichwie nun hier der 
Punct В, wiewohl zu beiden Curven gehörig, nur einmal vorkömmt und gezählt werden kann, 
so bringt es die Eigenthümlichkeit unserer Grenzbezeichnung mit sich , auch in diesem zwei- 
ten Falle den obern Grenzwerth selbst von unserer Betrachtung auszuschliessen , und mithin 
exclusive zu verstehen. — In denjenigen Fällen nun, wo der obere und untere Grenzwerth 
gleich sind , oder wo der obere des einen Disjunctiv-Gliedes dem untern des nächst darauf- 
folgenden gleich ist , werden wir stets der Abkürzung uns bedienen , von diesen gleichen 
ОС • 
Werthen nur den einen ausdrücklich anzuschreiben; d. h. statt ^<)i(j^)^ («) ^ г/ (л:-) ^ ; und 
r zu- 
^(jri(x)^co ^ф'(лг)^= («)^(jf (jr)^ ro(«')^g'(jr)^(«"). Da öfters die Grenzwerthe selbst seh 
а a' • • 
sammen^^eselzt sind, ja bei vielen Untersuchungen die Hauptrolle spielen, so wird sich diese 
Abkiu'zung von erheblichem iNutzen zeigen. 
Um schon jetzt einige der einfachsten, aber zugleich auch wichtigsten Fälle namhaft 
zu machen, in welctjcn die einzelnen Disjunctiv-Glieder in ein gewisses Yerhältniss zu ein- 
ander treten, лѵоИеп wir nachfolgende Betraclitungen anstellen: 
a' a'" 
1. Sind yzr^r/^;>)^ und //=^г/'(т)^ die Gleichungen zweier begrenzter Curven- 
a u'' 
a' a'" 
Stücke , SO ist dem Gesagten zufolge у z= ^qp (л-) ^ со ^ф' (^)^ die Gleichung derselben, inso- 
a a" 
fern sie gleichzeitig im Coordinaten-Raunie gedacht werden. Es können hierljei nac'.i folgende 
