auf Grundlage eines neu einzuf ührenden Algcrithmus. 561 
oft auch wukhch besteht, wie unter andern z. B. bei den Gleichungen der Polyeder im 
Räume u. s. w. 
Dass eine Gleichung von so grosser Allgemeinheit, ja L niversalität nicht über Erwarten 
einfach ausfallen konnte, bedarf wohl kaum eines erläuternden Wortes. Doch darf auch 
hier nicht übersehen werden, dass in allen jenen Fällen, wo die Functionen Ъ (ce, y) und 
F' (x, y) durch ihre innere Natur und Beschaffenheit die Begrenzung auf sich nehmen, d. i. 
bei allen continuirlichen Oberflächen, sowohl die Grenzen <^ (x) und ц' (x) von y, als auch 
jene « und «' von x, bei den meisten Untersuchiingen weggelassen, und die dadurch ver- 
einfachte Gleichung Z — F[x, y) ^ ^\^F' [x . y) geschrieben werden kann. — Wir wollen nun 
von dieser Hauptgleichung auf die aus ihr folgenden speciellen übergehen. 
2. Stellt man sich vor, dass der untere und obere Theil der Begrenzung immer 
mehr an einander rücken, лvodurch natürlich der ganze Kaumes-Inhalt gleichfalls forlAvährend 
abnimmt, bis endlich die untere Begrenzung mit der oberen zusammenfällt: so sieht man 
ganz augenscheinlich, dass unter dieser Voraussetzung der Körperraum in eine krumme Fläche 
übergeht, da ja hinfiiro nur diejenigen Puncle gelten sollen, welche der unteren mit der 
oberen Grenzfläche gemeinschaftlich angehören. In Beziehung auf die hier stattfindende Glei- 
chung entspricht dieses einem fortwährenden Annähern und endlichen Gleichwerden der bei- 
Y 
den Grenzfunctiüuen F {x,y) und F [x .y) janà da offenbar •^ — ^ й ^ Bedeutung nach 
Y 
genau mit Z—y übereinstimmt, so hat mau wegen F(x .y)~F'[x,y) offenbar 
• a' 
(2). Z=^F(^(^,g(^:,^y)gV(^)')) 
« • 
als die allgemeinste Gleichung einer beliebig begrenzten Fläche. Hiebei ist zu bemerken, 
dass Körperräume, deren obere und untere Begrenzung durch eine Function mit nur einem 
einzigen Disjunclivgliede dargestellt werden, bei ihrem Übergange in Flächen stets nur solche 
darbieten, die nicht in sich selbst zurückkehren. Körperräume dagegen, welche, wie z. B. 
ein hohles Ellipsoid zu ihrer analytischen Darstellung Grenzfunctionen mit wenigstens zwei 
Disjunclivgliedern erfordern, gehen sofort bei ihrem Übergange in Flächen in eigentliche 
Oberflächen über. Im Folgenden wird es nicht an Beispielen zur Erläuterung des Gesagten 
fehlen. — Hieher gehören nun auch die Gleichungen der sehr häufig vorkommenden, will- 
kührlich begrenzten ebenen Flächenräume im Körperraume, z. B. jene der Polvgone u. s. w. ; 
ebenso auch die Gleichungen der verschiedenen Polyeder u. s. w. ; wovon später ein Meh- 
reres, besonders im dritten Abschnitte noch vorkommen wird. 
3. Die mittelst der vorhergehenden Betrachtung gefundene Gleichung (2) lässt noch 
eine zweifache Specialisirung zu, die wir noch in diesem und dem folgenden Absätze be- 
sprechen werden. Wenn in der Gleichung (2) die beiden Grenzwerthe von y, nämlich 
