566 Christ. Dopplers Versuch einer Erweiterung der analytischen Geometrie 
wird, und wir leugnen niclil, dass wir es uns inderThat zu einigem Vcrdiensle anrechnen, auf 
diese Objecte auťmerksam gemacht zu haben. — Was ferners den Inhalt der sämmtlichen sieben 
Gleichungen anbelangt, so ist es augcnscheinUch , dass ihnen eine viel grössere Aligcmeinlieit 
und eine ungleich weitere Bedeutung zukömmt, als jenen mit ihnen gleichen Namen führen- 
den der bisherigen Geometrie , die insgcsammt in ihnen nur als specielle Fälle enthalten er- 
scheinen. — Alle nämlich tragen an sich , als ein wesentliches Element ihrer (^omplexion, 
den Charakter einer durchaus willkiihrlichen Begrenzung , und unterscheiden sich hierdurch 
höchst auffallend und vortheilhaft von den bisherigen Gleichungen , bei denen man es ledig- 
lich in jedem speciellen Falle der besondern Beschafl'enheit der Function überlassen musste, 
wo sie beginne und aufhöre , und in welcher Weise sie sich von ihrer Umgebung abgrenze. 
Dass Gleichungen ersterer Art einen entschiedenen Vorzug vor den bisherigen besitzen, ist, 
ich hoifc es mit Zuversicht, nicht eine blosse IMeinung von mir, und wird namentlich im 
dritten Abschnitte praktisch gerechtfertigt erscheinen. Dazu kömmt noch, dass man mit Hilfe 
des Disjunctiv-Zeichens nunmehr im Stande ist, wie immer zusammengesetzte Linien, Flächen 
und Körper durch Gleichungen analytisch darzustellen. — Man war bisher gewohnt , die 
Fläche durch eine , die Linie im Räume durch zwei und den Punct durch ein System dreier 
zusammengehörigen Gleichungen dargestellt zu sehen. Es kann daher nichts anders als auf- 
fallen, eben dieselben Objecte und noch um eines mehr, ihrer äusseren Form nach über- 
einstimmend jedes durch nur eine einzige Gleichung zwischen den drei Coordinaten x, y, z 
dargestellt zu finden. Von unserem Standpunkte aus betrachtet, erscheint uns die bisher üb- 
liche analytische Darstellungsweise dieser Gegenstände als eine noch unfertige und eben dess- 
halb auch mangelhafte und unvollkommene , und es lässt sich gewiss nicht verkennen, dass 
unsere Darstellungsweise es nicht nur möglich macht , geometrische Gegenstände der ver- 
schiedensten Art als System durch eine einzige Gleichung darzustellen, sondern sie auch 
gemeinschaftlich denselben Regeln der Analysis auf eine gleichförmige Weise zu unterziehen. 
INiclit in ihrer äusseren Form können sich füglich die Gleichungen der verschiedenartigen geo- 
metrischen Objecte von einander unterscheiden, denn sie alle sind ja Functionen dreier Co- 
ordinaten, sondern viclinphr in denjenigen Beschränkungen ihrer Werthe, die in ihrem Innern 
selbst sich ausgesprochen finden. — Zwar werden auch wir, überall dort, wo es durch die 
Umstände geboten erscheint , diese unsere Functionsausdrücke in ihre in ihnen selbst lie- 
genden Bedingungs-Gleichungen aufzulösen, nicht unterlassen, und demnach könnte es schei- 
nen , als ob durch diese unsere Zurückfiihrung auf immer nur eine Gleichung, wenigstens 
abgesehen von den Voi theilen der willkührlichen Begrenzung eben nicht viel gewonnen wäre. 
Allein einstheils sind diese Auflösungen in die Bedingungsgleichungen nur vorübergehende, 
durch einen vorliegenden Zweck gebotene und verhältnissmässig selten vorkommende Opera- 
tionen, anderntheils ist es nur allein auf diese Weise mögfich, der oben namhaft gemachten 
Vorlheile theilhaft zu werden. — Übrigens bewähren sich, wie die Folge zeigen wird, alle 
tmsere Functionsausdrücke in jeder Beziehung als wahre Gleichungen der durch sie vorge- 
stellten Objecte, indem sie den verschiedenartigen geometrisch-analytischen Untersuchungen, 
z • В. der Rectification , Quadratur und Cubatur zum Grunde gelegt stets zu richtigen R^e- 
