auf Grundlage eines neu einzuführenden Mgcrithmus. 575 
ßzzq{u) verglichen die Bedeutung \ on rp~\ß) genugsam aufhellt. — Ist z.B. 3 яд- — b — (f{a:'); 
so ist X — cf- ^ {//) ^jtif, oder ist yz= —V Sx'^ — Ib- z=.(p[x); so ist wiederum 
'da а 
2. Auch die oftmaligen aufemanderfolgenden Substitutionen einer Function führen zu 
höchst interessanten, ganz unerwarteten und sehr brauchbaren Resultaten. Ist die zum Grunde 
liegende Function von einer solchen Beschaffenheit, dass der Werth der fortgesetzten Substi- 
tutionen erweislichermassen einem constanten Werthe nach den Anforderungen der Convergenz 
fortwährend zustrebt, so kann dieses Verfahren sehr wohl dazu dienen, die Wurzeln einer 
Gleichung zu finden. — Ist z.B.y — Ax — (p{x); so ist [x) ~ A" x. — Ist dagegen q (x) z=. Jx'"; 
?7l" 1 
SO ist (f'lx)— A(i x'^ , wobei q — bedeutet. — Ist endlich ц[х) — Ax-{- B, so erhält man 
7П— 1 
(4" - \~\ 
) -^"^- — Letztere Formel auf yz=.^x-{-h — q{x) angewendet, gibt für 
A — 1 
71 — wegen (J)*=zO, ç*(jr)_riO, лѵіе dieses auch die freilich hier leicht aufzulösende 
Gleichung — \x bestätigt. 
3. Auch auf bereits vorhandene Functionszeichen wendet man neue an, wie z. B. wenn 
q [x) — / (i/) ; so ist auch F[cji(x'))-=.F{J'(x)) u. s. w. — Ebenso findet man durch Übertragung 
der Functionszeichen aus ср[х)—/(і/), sowohl xz=L(p-^[f{tj)) oder auch y—f-\q\x)). Ist z, B. 
ff[x) — bx^ — 1х-\-Ъ und /{y) — by — 8 und folglich 3x- — 1 x-^-Z^Loy — 8; so findet man 
für ЛЧфС^)) = und für q>-^{/(i/))- ^±^^6Q.y — ^^3 ^ 
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4. Es bedarf keiner eigenen Erklärung, dass nachfolgende Gleichungen und Relationen 
bestehen, nämlich : F[F-^{x))=.F~^[Fix')) — x, dagegen aber bei ungleichen Functionszeichen 
kann q)(yix)) bald ^ f[q{x)) seyn. Es müssen daher die verschiedenen Functionszeichen in 
derselben Ordnung auf die andere Seite der Gleichung gebracht werden. Ist daher z. B. 
y rr ( (y(jr))) , so hat man sofort rr/"-' (F^ (Ф (y) ) u. s. w. Da die analytische Geo- 
metrie als solche stets berechtigt ist, bei ihren verschiedenen Untersuchungen die Solubilität 
der Gleichungen, mit denen sie es zu thun hat, vorauszusetzen; so können die vorerwähnten 
Functionsbezeichnungen ganz passend dazu verwendet werden, verschiedene Probleme auf 
Grundlage allgemeiner Functionsformen aufzulösen, wie im dritten Abschnitt gezeigt werden soll. 
§. \G. 
1. Es ist öfters von grössler Wichtigkeit, Functionsausdrücke mit einfach gekerbten 
Grenzklammern in andere mit doppelt gekerbten Klammern ohne Veränderung ihres Werthes 
zu verwandeln. Die hierauf bezügliche Relation ist in nachfolgender Bedingungsgleichung aus- 
gedrückt. Wenn ß — (f[a) und somit «— Ф~'(/?), so hat man: 
«' «r(«'j ß' 
(1.) ^g)(^)^ =^<ГИ^; "nd umgekehrt (2.) (^) ^ - (^qp ) ^<ř(^)^ (g"' (i?'))- 
a 4,{a) ß 
1Ѣ* 
