598 Christ. Dcpphrs Versuch еіпгг Erweiterung eler analytischen Cecmelrir 
wodiircli sofort auch sin. q und cos. n ihrem Werthe nach bestimmt, und in oljigc Formeln 
I. und II. gesetzt werden können. — Die hier und im Frühem auCj^czahlten Hilfsmittel reichen 
vollkommen hin, um jede beliebige Stellung eines Objectes mi Coordinatcnraume einer Fbene 
ohne alle Schwierigkeit und nieistenthcils sogar auf eine mehrfache Weise berbeizulühren. 
s. 3. 
Auf eine völlig analoge Weise, wie bei der Ableitung der Dislocationsfonneln (lir die 
Ebene, hat man bisher auch das Problem über die Ortsveränderungen geometrischer Objecte 
im Räume gleichzeitig mit der Transformation für die Coordinaten aufzulösen gesucht. Man 
geht hiebei noch immer von der Ansicht aus, dass sich jede Veränderung in der Lage eines 
geometrischen Gegenstandes und zwar auch bei einer allenfalls gleichzeitigen Veränderung des 
Coordinaten- Systems, jederzeit durch eine veränderte Neigung der Goordinaten-Ebenen be- 
züglich ihrer anfänglichen Lage und durch eine gleichzeitige Verlegung ihres gemeinschaftlichen 
Durchschnittspunktes oder Ursprungs erreichen lassen müsse. — Will man indessen die da- 
durch erlangten Formeln noch zu etwas Anderem als zur blossen Discussion von Gleichungen 
und zu dei-en allenfallsigen A'ereinfachung benützen: so reichen dieselben, abgesehen davon, 
dass ihnen überdiess alle Anschaulichkeit mangelt, durchaus nicht mehr hin; denn in unzählig 
vielen Fällen wird man es nothwendig finden, den verschiedenen geometrischen Objecten, oder 
sogar einzelnen Theilen derselben, eine verschiedene Lage oder Stellung anzuweisen, ohne 
die Lage gewisser anderer zum Systeme gehörigen Puncte, Linien und Flächen oder Körper 
im Geringsten abzuändern. ^Д ill man daher in diesen Fällen nicht zu den unnatürlichsten 
und jeder klaren Einsicht völlig unzugänglichen Vorstellungsweisen seine Zuflucht nehmen, so 
reichen die auf dem bisherigen, eben erwähnten Wege gefundenen Formeln durchaus und in 
keiner Weise mehr aus, und es stellt sich noch weil dringender, als bei den Untersuchungen 
in der Ebene, die unabweisliche Forderung fest, auch für die verschiedenen Untersuchungen 
im Räume eine zweckmässige Methode anzugeben, genannte Transformationen und Disloca- 
tionen bei stets klarer Einsicht in den Vorgang der Rechnung vorzunehmen. Um daher zu 
den geeigneten Formeln zu gelangen, wollen wir von den nachfolgenden Betrachtungen 
ausgehen. — 
Es sey Ç, Fig. 5G, irgend ein im Coordinaten-Raume befindlicher geometrischer Gegen- 
stand, NM eine mit ihm unveränderlich vei-bunden gedachte Linie von beliebiger Länge und 
Richtung, deren Lage durch die nöthigen Bestimmungsstücke, und zwar in unserm Falle, nebst 
den Coordinaten «, ß, 7 des Anfangspunktes N noch durch den Winkel <jr, welchen ihre ho- 
rizontale Projection О P mit der Achse Jc, so wie weiter durch den Winkel i/>, den die Linie 
M N selbst mit der Ebene Jc ij, oder was dasselbe ist, mit ihrer Projection oder jeder zu ihr 
parallel gezogenen N К einschliesst, gegeben ist. Statt durch die beiden Winkel ■Ц) und qr, kann 
die Linie ISM, welche wir sofort die Achse nennen werden, auch noch durch die Coordinaten 
0,^», reines zweiten ihrer Puncte festgestellt werden, welchen Fall wir am geeigneten Orte eigens 
berücksichtigen werden. — Diese Achse nun kann je nach Umständen ganz oder zum Theile 
ausserhalb des Gegenstandes, und von ihm völlig getrennt, oder auch ganz in demselben lie- 
