628 Chrisi. Doppler' s Versuch einer Erweiterung der analytischen Geometrie 
ax'\h Null wird, d. h, jene von x' — — — bei allen Objcctcn iiir ihre Formänderung von 
a 
besonderer Wichtigkeit ist. in .i.. 
1) Es sei das gegebene Object eine gerade Linie Л/iVFig. 71, deren Gleichung 
ij — Ax\B seyn mag. Man erhält sofort г/ — [a x' -\- b) [A -\- В]. Es hängt nun vor Allem 
davon ab, ob x' — — -deinem Puncte diesseits oder jenseits O, entspricht also etwa in O' oder 
а 
О'' liegt; ersleres geschieht, wenn numerisch <^ JL. letzteres wenn IL- > _ÍL ist; im er- 
Ал. А а 
stern Falle geht die Gerade Л/ІѴ in M'ON' oder 'mM"0]S" über, je nachdem а negativ oder 
positiv ist; im zweiten Falle in M'ON oder M'' О N", Fig. 72, je nachdem ebenfalls а negativ 
oder positiv ist. 
Wendet man den ähnlichen formändernden Factor a'x' -j- auf das eben gefundene 
(3bject, d.h. auf die Gurve О PO' Fig. 73 an, d. h. setzt man abermals X — x', y— ^ 
a' x'-\-h 
so erhält man: y' — [a' x' -\- b') [ax~\-b) [Ax' -\- By. und es kömmt nun Alles darauf an, ob 
der nullmachende Werth dieses neuen; d. h. ob — sich auf einen Punkt O'' zwischen 
а 
О und О' oder vor O, oder ausserhalb O' bezieht. 
Im erstem Falle gehört die Curve in M'P'P'N', wenn а positiv, dagegen in M"P"P"IS'" , 
wenn а negativ ist. — Im zweiten Falle, der durch Fig. 74 dargestellt wird, geht die Curve 
MPN m M'P'P'N' oder in M"P" P"ÎS'' Шзег; ersteres geschieht, лѵепп я positiv, letzteres wenn 
а negativ ist. 
Der dritte und letzte Fall, welcher in Fig. 75 dargestellt ist, tritt ein, wenn O'' ausser- 
halb dem Puncte O' liegt. Ist a' positiv, so erhält man die Curve M'P'P'N'-^ ist dagegen a' 
negativ, so erhält man jene von M"P"P''IS", 
Das Gesetz der Änderung ist so höchst einfach, dass man in Bezug auf diesen Haupt- 
punct der Formänderung nachfolgende Regel feststellen kann: Wird eine Gleichung von der 
Form y — Ax'^-\-Bx'^-^-\-Cx'^~^-{-.... Гх-\- lVzz.X\ welche stets der Repräsentant einer 
in Fig. 76 dargestellten parabolischen Curve ist, statt x, x' und für у ~ — У. substituirt, 
ax' + b 
wodurch man y' — {ax' -\- b) X erhält, so erleidet die der Gleichung ?/ = entsprechende Curve 
О P'0"PO, Fig. 76 nachfolgende Formänderung. Zuerst hat man auszumitteln, zwischen welche 
Wurzeln, d, h. zwischen welche der Durchgangspunct o, o', c" , c'" — der nullmachende Werth 
x' — — JL. fallt. Es entspräche diesem Werthe der Punct q, in Fig. 76, so ist gewiss, dass 
durch diesen Punct eine Serpentine der neuen Linie gehen wird. — Ist nun а positiv, so ent- 
steht die Curve oOc' 0'q"0"c" ■ ist dagegen « negativ, so geht die ursprüngliche Curve 
in 0 R"'o'R"q R'o"R über. Auch der Einfluss auf die Erhebung der Serpentinen über und 
unter der Achse der x lässl sich anschaulich machen und mit jedem beliebigen Grad von Ge- 
nauigkeit angeben. Ist z. B, die gegebene Curve, jene с P o' P' o" P'' in Fig. 77 dargestellt, 
so geht sie unter der Voraussetzung, dass а positiv ist, in oQ o'Q'o"Q"o"'Q"' über, und zwar 
