auf Grundlage eines neu einzuführenden AtgcrilhmuS^ 6'íí9 
in der Weise, dass die Serpentinen im steigenden Masse von x sicli weiter entfernen, je weiter 
sie sich vom Punkte p gegen rechts und Hnks entfernen. Jede einzelne Ordinate der neuen 
Curve ist ein Product aus ihrer urspriingHchen Grösse in den aus der Substitution des iiir 
x> gesetzten Werthes in den Factor [ax' -\-b). Es lag hier ganz in unserer Absicht, bei diesen 
einfachen Betrachtungen mit einer grössern Ausführlichkeit zu Werke zu gehen, als es viel- 
leicht Manchem nothwendig scheinen möchte. 
riirTtfi T Nachdem wir nun schon die Wirkung der Substitution von x—x' und y~ 
a.L '-\- b 
bei den sogenannten parabolischen Curven kennen gelernt haben, wird es wenigen Schwierig- 
keiten unterworfen seyn, den formändernden Einfluss auch auf andere geometrische Objecte 
kennen zu lernen. Eine wichtige Klasse der geometrischen Formen bilden unstreitig die in 
sich selbst zurückkehrenden, wie z. B. die Kreislinien und Ellipsen. Wir wollen hier, da die 
Formänderung eine ganz ähnliche auch bei den mit dem Kreise formverwandten übrigen Gur- 
ven^ist, den erstem wählen und anfänglich noch dazu den speciellen Fall betrachten, wo man 
x — x' und y= setzet. — Es sey, um hier gleich ein numerisches Beispiel zu wählen. 
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16 — j:"'*, die Gleichung des in Fig, 78 abgebildeten Kreises. Es muss hier schon zum 
Voraus erwähnt werden, dass der Umstand, ob der Mittelpunct des Kreises im Ursprünge c, 
oder in einem Punkte des Durchmessers, oder gar ausserhalb des Kreises sich befindet, ge- 
hörig beachtet werden muss. In unserem vorhegenden Falle liegt er im Ursprünge des Coor- 
dinaten- Systems, und unsere Gleichung geht über in: — « :r V 16 — a*^. Diese Gleichung 
entspricht nun jederzeit einer Schleifenlinie, wie sie in Fig. 78 durch EHOFG vorgestellt 
wird. — Da die Gleichung, eine neue noch unbestimmte Constante, nämHch a enthält, so kann 
man zur genauem Bestimmung derselben etwa die Bedingung beifügen, dass diese Curve durch 
einen bestimmten Punct g der anfänglichen Curve gehen soll. Ileisst man die Abscisse von 
^1 a, so hätte man a — JL zu setzen, 
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Ebenso könnte man festsetzen, dass der Curvcnast G E die Achse x unter einem ge-j 
wissen Winkel, z. B. von 40" durchschneide. In diesem Falle hätte man wegen 
\ \ — аУ 16 — x"^ — und somit für X — O, wegen tang.\b° — l, daher 
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6 — x'- die Gleichung derjenigen Schleifenlmie, deren Aste, bei einem Grundkreis 
vom Radius 4, sich wechselseitig unter rechten Winkeln durchschneiden. Ist der Mittelpunct 
des Kreises nicht im Ursprünge des Coordinaten-Systems, sondern in einem Puncte O, Fig. 79 
des Durchmessers, jedoch noch innerhalb des Kreises, so entspricht dieser Substitution eine 
Curve wie GHIK und eine Gleichung, wie etwa y' я дг' 7-|- 6.r' — a-'^: wobei а wieder so 
bestiimnt werden kann, dass die Curve entweder durch einen gewissen Punct g geht, oder 
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