630 Christ. Doppler s Fasuch einer Erweiterung der analytiichen Cccmelrte 
dass der Winkel, unter welchem die Schleifen die Achse durchschneiden, ein bestimmter ist. 
Rückt endlich der Punct bis zur Peripherie des Kreises hinaus, wie in Fig. 80, so wird die 
kleinere Schleife von der grössern so zu sagen völlig absorbirt, und liefert eine Curve, wie 
die in FG HI abgebildete. Dabei ist dieselbe noch immer einer genauem Bestimmung fällig, 
durch Angabe eines Punctes, durch welchen sie gehen soll. Wäre endlich der Ursprung ganz 
ausserhalb des Kreises, und des letztern Mittelpuncl z.B. in der Achse der y, wie in Fig. 81; 
so hätte man, wenn diese Gleichung y — 10±Ѵ^9 — x^'i&t, offenbar y — д^^(10-ьѴ 9 — x'^). 
Diese Gleichung entspricht einer Schlcifenlinie, wie die G III F in Fig. 81 ist, wobei man 
noch die Bedmgung stellen kann, dass entweder dieselbe durch den Punct G gehe, oder einen 
Schleifenwinkel со von gewisser Grösse bilden solle*). Setzt man dem Factor ax' das dop- 
pelte Zeichen ± vor, so erhält man eine Curve von der Form Fig. 82. — Man kann endlich 
noch fragen, welche Formänderung eintrete, wenn der Punct yí Fig. 83 selbst noch über die 
Peripherie hinaustritt , jedoch in der Verlängerung des horizontalen Durchmessers. In diesem 
Falle entsteht eine eiförmige Curve FGHI, weiche ihre Spitze in F, den breiteren Theil in 
/ hat. Durch einen, nach obigem Grundsatze bestimmten Werth von а kann stets bewirkt 
werden, dass sie durch die Puncte G und // gehe. 
Die Ovale erhält eine wohlgefälligere Form, wenn man statt eines Kreises eine Ellipse 
als Erzeugungshnie zu Grunde legt, und die Grösse a in angemessener Weise bestimmt. — 
So entspricht z. B. die Gleichung y' =z V^iOx — — 300 einer sehr gefällig geformten 
elliptischen Ovale. 
Die Substitution von x~x' und y — bewirkt an geometrischen Objecten, 
ax'-\- h 
welche sich ganz allgcmem im Coordinaten-Raunie befinden, analoge Formänderungen, von 
denen die eben betrachteten nur als specielle Fälle erscheinen. — W4r wollen die form- 
ändernde Kraft dieser Substitution auch noch an der Gleichung einer Parabel ABC, deren 
Gleichung y — У^ Ъ X -\- \1 seyn mag, und die in Fig. 84 dargestellt ist, versuchen, was auf 
die Gleichung y' — ах'У^ Ъх'-\- \1 und auf die Schleifenlinie AB' О führt. Auch hier wieder 
kann а so bestimmt werden, dass die neue Curve entweder durch F und G geht, oder einen 
bestimmten Schleifenwinkel bei 0 macht**). — Die Wirkung dieser Substitution ist daher auch 
n 
*) Diť Anwendung unserer Dislocalionsformeln, wobei a "О, а' ~ О, /> ~ О, ß'ZZO, und ^ 3 
gesetzt wird, würde auf die obige Gleichung der in Fig. 85 vorg^stellleD Curve fuhren. Ebenso lassen sich 
Gleichungen, nach dem friiher еглаЬиІеп gemischlen Polar-System, durch Einführung formändernder Fak- 
toren von den mannigfalligslen Objecten aufstellen. So г. В. stellt die Gleichung 
j~á-\-U(ÍÚ: X m sin. n v) sin. (oj -j- v') 
Formen von der Art, wie in Fig. 89, 90 und 91 dar, jenachdem die Constanlen m und n diesen oder 
jenen speciellen Werth erhalten. Es kömmt hierbei auf die Polargleichung ü ~ <f (v), ferner auf die be- 
stimmten speciellen Werthe von m und n an. 
**) Nimmt man eine Parabel, deren Scheitel im Ursprung liegt, г. В. yZZ^T 3 x , und setzt man x ~ x". 
