632 Christ. Dopplers Versuch einer Erweiterung der analytischen Geometrie 
Sciileilenfläche. Mit Hilfe unserer Begrenzungsmethode könnte man mithin sich sehr leicht 
die Gleichung einer bandförmigen Schleife mit bestimmter Abgrenzung verschaffen. Wendet 
man auf besagte Gleichung der Schleifenfläche, welche wir der Kürze wegen mit z — F[jr, y) 
z' 
bezeichnen wollen, die specielle Substitution X — x', y=-ij' und z — beliebig oftmal 
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hinter einander an, so erhält man eine Gleichung von der Form I 
z' — [m x' -\-ri) {m* x' ^n^) [m" x' + n") Fix, ij), 
welcher Gleichung sofort das Object in Fig. 95 entspricht, eine Fläche, welche von der Ebene 
X у im Allgemeinen in Vierecke geschnitten, von da aus aber nach Unten und Oben sich ab- 
rundend, wechselweise Erhöhungen und Vertiefungen bildet, die sich ihrer Form und Grösse 
nach, durch geeignete Annahmen der GoefFicienten jederzeit leicht zum Voraus bestimmen 
z' 
lassen. — Macht man obige Substitution von x~x', у — y' und z — in die Glei- 
ay'-\-bx'-{-c 
chtmg für die Kugel oder das Ellipsoid, so erhält man Oberflächen, welche man zu der Art 
der in Fig. 96 dargestellten zählen muss Man sielit daher deutlich, dass der Factor 
a y' -\- b x' -\- c) bei Flächen ganz analoge Formänderungen bewirkt, viie[ax-\-b) bei Objecten. 
die in einer Ebene liegen *). 
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§. 29. , , . 1- • 
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Der Zweck unserer in diesem Capitol geführten Betrachtungen war kein anderer als 
die im Emgange aufgestellte Behauptung zu rechtfertigen und ins Lieht zu setzen, dass die 
formändernde Wirkung einer Substitution selbst auf die verschiedenartigsten geometrischen 
Objecte so analog und übereinstimmend ist, dass man selbst schon zum Voraus und ohne 
alle weitere analytische Untersuchung den Erfolg derselben vorhersehen kann, wenn man sich 
mit der Eigenthihnlichkeit eines solchen Factors einmal bekannt gemacht hat. 
Diess wäre nun der eine Gesichtspunct, nach welchem wir die Formänderungen vor- 
erst untersuchen wollten, und es ist ersichtlich, dass hier eine unermessliche Mannigfaltigkeit 
von Formen zum Vorschein koimnen. 
§. 30. 'ПэИН 
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Der zweite Gesichtspunct, nach welchem Formänderungen in Betracht gezogen wer- 
den können, hat in dem Verlangen und oft auch in dem Bedürfnisse seinen Grund, Form- 
änderungen von ganz bestimmter Art, und vom Zufalle völlig unabhängig, an den verschie- 
denen geometrischen Objecten hervorzubringen. Da indessen Betrachtungen dièser Klasse 
Behufs der Aufstellung der methamorphischen Formeln immer mit mehr oder weniger aus- 
Siibslituirt man in die Gleiclmng für einen schiefen CvlinJer x~x', r~^*' und z~ — 
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und wiederholt man dieses mehrmal hintereinander, so erhält man die Gleichung einer Oberfläche, von wel- 
cher Fig. 97 einen ganzen speciellen Fall darstellt. 
