634 Christ. Doppler s У er such einer Erweiterung der anal ij tischen Geometrie 
wie die Ableitun^^ der f ür diese Art der Formänderung nöthigen Formeln möge den Aufgaben 
des nächsten Absolinitts überwiesen werden. 
§• 31. 
Alle bisher betrachteten Formänderungen, die absichtlich vorgenommenen sowohl, wie 
die zufällig durch den Erfolg erst entdeckten, erstrecken sich ohne Ausnahme auf das ganze 
durch die Gleichung rejjräsentirte Object. Die im Frühern schon besprochene und ange- 
wandte willkürliche Begrenzung setzt uns nun in den Stand, selbst an einzelnen Theilen eines 
geometrischen Objectes Formänderungen vorzunehmen, ohne dass die übrigen im Mindesten 
eine Änderung erleiden. Hiedurch gewinnt aber diese ganze Betrachtung ungemein an An- 
Avendbarkeit zu praktischen Zwecken. Um dieses nur durch ein Beispiel zu erläutern, denke 
man, der in Fig. 100 dargestellte Kreis, dessen Gleichung y — V 2. л — .т^ ist, sollte in der 
Weise partiell seine Form ändern, dass nur der Bogen zwischen m und sich ausstülpe 
und durch einen gewissen Punct p gehe, alles Übrige aber ungeändert bleibe. Auch soll die 
Änderung in der Form, oder der (fbergang in vi und f/i' nicht hrucliweise, sondern allmählig 
erfolgen. Sind nun die den Puncten m und w' entsprechenden Abscissen oder Grenz- 
werthe 1 und 4, dagegen die Coordinaten des Punctes p, 3 und 7, so erfüllt, wie der Leser 
es leicht selbst zu ermessen vermag, die Substitution von 
3 4 
a-=r.a ' jund y [y : (^1 + ^ g (.r - 1) ^ + ( з (4 _ j 
1 . 3 
ganz diese Anforderungen. Man hat daher als Gleichung des in Fig. 100 dargestellten aus- 
gestülpten Kreises den Ausdruck: 
3 4 
1 3 
Und so in unzählig vielen andern Fällen. 
§ 32. 
Was endlich den Nutzen anbelangt, der von diesen geometrischen Formänderungen ent« 
weder bereits erreicht wurde, oder sich doch mit Wahrscheinlichkeit erwarten lässt, so erachte ich 
schon den Umstand, dass man mittelst derselben sich in den Stand gesetzt sieht,; die Glei- 
chungen der mannigfaltigsten geometrischen Objecte, die gegebenen Bedingungen entsprechen 
sollen, darzustellen, für einen Gewinn. Dabei darf man freilich nicht vergessen, dass man an 
die allerersten und so zu sagen, noch ganz rohen Anfänge einer der wissenschaftlichen Be- 
handlung fähigen Lehre auch in Bezug auf deren Nutzanwendung nur massige Ansprüche zu 
machen berechtigt ist. Ausser diesen Yortheilen fehlt es ferner auch nicht an andern zu er- 
wartenden Annwendungen, die nahe genug liegen, um nicht übersehen werden zu können. 
Die folgenden sind die vorzüglichsten: 
1) Als ein sehr brauchbares Mittel, numerische Gleichungen, algebraische sowohl wie 
transcendente aufzulösen. Die verschiedenen analytischen Methoden, numerische Gleichungen 
jeden Grades aufzulösen, haben nämlich alle auch eine geometrische Bedeutung. Wir wollen 
