auf Grundlage eines neu einzuführenden AlgcrUhmus. 635 
Iiier nur von den zwei gebräuchlichsten sprechen, der sogenannten iNewlonianischen und der 
Regula falsi mit zwei Positionszalilen. 
й) Die geometrische Bedeutung der sogenannten Newtonischen Auflösungsmethode der 
Gleichungen besteht darin, dass man Fig. 101 für einen gewissen Werth AP, als erste An- 
näherungszahl der Wurzel А die geometrische Subtangente Pm sucht, und diesen zum an- 
fanglichen Werth A P addirt, dann diesen Werth, d. h. A m als ersten Näherungswerth be- 
trachtet, welcher wieder der anfanglichen Rechnung zum Grunde gelegt, sofort den zweiten 
Näherungswerth A m' liefert u. s. f. — Es lässt sich aus dieser geometrischen Darstellung des 
Verfahrens genau angeben, in welchen Fällen man sich mehr oder minder schnell der Wurzel 
nähert oder auch von ihr völlig entfernt. — Hier aber mag die Bemerkung genügen, dass dieses 
genau mit dem Umstände zusammenhängt, ob der um die Wurzel О zunächstliegende Curven- 
iheil einer geraden Linie schon ziemlich nahe kommt oder nicht. Je mehr der erstere Fall 
eintritt, desto schneller nähert man sich dem Werlhe der Wurzel, und ginge die Curve А В 
in eine gerade Linie selbst über, so würde man, unter welchem Winkel sie auch die Achse 
der X durchschnitte, schon durch den ersten Versuch den Werth der Wurzel genau finden, 
weil in diesem Falle der Endpunct der Subtangente mit dem Durchschnittspunct 0 zusammen- 
fiele. — Nach unsern Betrachtungen kann nun zwar durch Einführung eines formändernden 
Factors die genannte Curve nie völlig in eine gerade Linie verändert werden ; wohl aber ist 
man stets im Stande, ohne die Wurzel genau zu kennen, und ohne sie im Geringsten zu ver- 
ändern, sie einer Geraden beliebig nahe zu bringen, wodurch man sich in den Stand gesetzt 
sieht, mit möghchst grösster Raschheit dem wahren Werthe sich zu nähern. 
b) Die geometrische Bedeutung der Regula falsi besteht darin, dass man für die zwei 
anfänglichen Positionszahlen Fig. 102, d und ď die sogenannten Fehler, d. h. die Ordinalen 
MP und M'P' sucht, sie mögen д und d' heissen, und sodann mittelst der bekannten Formel 
x' — Am — ^ -|- ^ jgjj Durchschnittspunct m sucht, den die Linie M M' mil der Achse x 
gemein hat. A m ist dann der erste angenäherte Werth. — Auch hier sieht man wieder ganz 
deutlich, dass der Erfolg des ZusammentrefTens von m und 0 lediglich von dem Umstände 
abhängt, ob und wie sehr sich die Curve MO M' einer Geraden nähert oder nicht. — Eine 
geeignete Formänderung der Curve ist also auch hier eine Angelegenheit von der grössten 
Wichtiirkeit. — " 
2) Es dürfte nicht unwahrscheinlich seyn, dass der Formänderung auch bei den Pro- 
blemen der Rectification, Quadratur, Complanation und Cubalur eine nicht unwichtige Rolle 
zu spielen vorbehalten ist, indem die formverwandten geometrischen Objecte gewiss auch bei 
diesen Problemen ihren gemeinschaftlichen Ursprung etwa durch die Möglichkeit ihrer wechsel- 
seitigen ZurückRihrung u. s. w. beurkunden dürften. 
3) Endlich lässt sich von dem Principe der geometrischen Formänderung ein sehr nützlicher 
Gebrauch in der Mechanik erwarten, bei der Construction solcher Maschinentheile, welche ge- 
wisse Curven zu beschreiben haben u. s. w. Ich habe selbst Gelegenheit gehabt, mich von der Wahr- 
heit dieser letzlern Behauptung zu überzeugen, da es mir auf diesem Wege ohne viele Mühe ge- 
lang, ein Instrument zur Verzeichnung der sogenannten Ovallinie des Desearles zu construiren. 
