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Chris/. Doppler s Уігзиск tiner Erweiterung der analytischen Geometrie 
Aufij;nhr. G. Es Seyen die Gleichungen zweier Flächenräume gegeben, man soll auf 
rein anal\tischem Wege denjenigen Theil der Fläche bestimmen und durch die entsprechende 
Gleichung darstellen, welchen diese Flächen gemein haben. 
Diese Aufgabe, deren Nothwendigkeit sich für die folgenden Probfeme erweisen wird, 
findet in Nachfolgendem ihre allgemeine Lösung. — Es seyen die Gleichungen der beiden be- 
treffenden Flächen : 
(1) у-ц{х)^1^ц'{а:) und (2) у=/[х)^%^Г{ху, 
so ist klar, dass die Gleichung ihres gemeinschaftlichen Theiles, da sie wieder eine Fläche 
repräsenlirt, von ähnlicher Form, wie etwa y — F {j[-)^<. {a:) seyn werde. 
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Unsere ganze Aufgabe bezieht sich demnach darauf, aus den Functionen qp [x] , qp' [x) 
und f{j), /' [x), jene von F['it), F' [x) zu finden. Wir können dabei der grösstcn Allgemein- 
heit völlig unbeschadet annehmen, dass die genannten Functionen vorläufig nur aus je einem 
Disjunctiv-Glicdc bestehen, da der entgegenstehende Fall, wenn er eintritt, keine abgeänderte 
Behandlungsweise erheischt, sondern nach den allgemeinen Regeln unsers Algoritlunus be- 
handelt werden muss. Da die möglichen Лerbindungen zwischen den wechselseitigen verän- 
derlichen Grenzwerthen nur folgende vier Bedingungsgleichungeu liefern: 
1) ^2) ф(.г)=/'(^); 3) ç'H=/(4; J^) ^'{x) = Г [a:]; 
so sind in Allem nur nachfolgende fünf Hauptfälle möglich : a) entweder liefern diese vier 
Gleichungen gar keinen möj^lichen Werth für a-, oder es bietet nur eine unter ihnen einen 
raögUchen Werth dar, oder c) es ist dieses bei zweien, pderjjQ bei drei, oder endlich e) bei 
allen vier Gleichungen der Fall. Betrachten wir diese Fälle nun einzeln. 
a) Kfiiif der vier Gleichungen liijcrl einen möglichen IVcrth Jur x. Hier ist nur einer 
der beiden Fälle möglich : I) entweder befinden sich beide Flächen wie in Fig. 110 ganz ausser- 
halb, oder 2) eine, wie in Fig. III, ist ganz innerhalb d,er andern. Ein verlässhches Kenn- 
zeichen für den einen und den andern Fall liefert der Umstand, dass im erstem Falle die 
Grenz-Intervalle der beiden Gleichungen (1) und (2) der flächenräume sich wechselseitig aus- 
schliessen, im zweiten dagegen das eine ganz innerhalb des Intervalles der andern Gleichung 
liegend gefunden wird. Zu bemerken ist hiebei, dass falls die Grenžwerthe der beiden Glei- 
chungen nicht ersichtlich vorlägen, diese früher gesucht werden müssen. Dieses ist gewöhn- 
lich, wie schon gelegenheitlich erwähnt wurde, der Fall bei allen sich selbst begrenzenden, in 
sich zurückkehrenden Gurven, deren unterer und oberer Grenzwerth dem Minimum und Ma- 
ximum der Abscisse x entspricht. Man findet diese mittelst 'der beiden Gleichungen 
ц\х) — (^>[х) und f \x)—f>{x). - 
b) Jene vier Gleichungen liefern nur einen möglichen lVí/rllv /цг X. Dieser Fall entspricht 
jedenfalls einer Berührung der beiden Flächenräume, wç^qi ;sie wiede^i* entweder 1) ganz ausser- 
halb einander oder 2) ganz innerhalb einander liegen können. D^s, ßrstpre findet statt, wenn 
