i'aNmw ол/ Grundlage eines neu einziifúhrcnelen Algcrühmas. ,\irvi\'> 649 
lionsgleichungen gegeben sind: so frägt es sich, welche ist die Gleichung der von der Fläche 
oder dem Curvenstiick beschriebenen lîahnflâche ? 
Schon mit den Betrachtungen des vorigen Paragraphs haben wir uns einer ganz ei- 
genlhümlichen Classe von Problemen zuzuwenden begonnen, лѵеісііе nicht nur an und für 
sich interessant se} n dürften, und jedenfalls in dem Aufbau der analytischen Geometrie keine 
unbedeutende Lücke ausfüllen, sondern die auch in mehr als in einer Beziehung von unstreitig 
grosser praktischer AVichtigkcit seyn Averden. — Was unsere gegenwärtige Untersuchung anbe- 
langt, so ist schon auf den ersten Augenblick ersichtliclb dass unsere Aufgabe sich auf die 
Angabe besonderer Maxima und Minima stützt, die sich aber von der gewöhnlichen geome- 
trischen wesentlich darin unterscheiden, dass sie sich nicht wie diese auf den in Buhe befind- 
Iit;hen, sondern auf den in Bewegung begriffenenen geometrischen Gegenstand beziehen. Be- 
wegt sich nämlich eine Fläche Q, Fig. 124, in vorerwähnter AVeise in der Bahn/? 5", so muss 
sich für jede beliebige Ordinate pq der Punct derselben, z. B. M, angeben lassen, welcher 
im Verlaufe der ganzen Bewegung beim Durchdringen dieser Ordinate, sie von allen am höch- 
sten et\va im Puncte 7п trifft, während zugleich ein anderer Punct dieser Fläche, z. B. N, die 
Ordinate im Minimo schneidet. Bei discontinuirlichen, d. h. bei allen zusammengesetzten und 
willkürlich begrenzten geometrischen Objecten, z. B. Polygons-Flächen u. s. w. (s. Fig. 122), 
lassen sich noch andere Puncte angeben, z. B. M', M", M'" und Л', N", N'" u. s. w. Fig. 20", 
die diese Ordinate in den Puncten m', m", m'", n', n", n'" u. s. w. treffen, und da alle 
zwischen einem zusammengehörigen IMaximum und JMinimum liegenden Puncte von der Fläche 
l)ed(îckt erscheinen, so werden in letzterwähntem Falle einige dieser Puncte zweimal, andere 
sogar dreimal und noch öfters von der Fläche bedeckt, und geben sofort zu einer mehrfachen 
abweichend geformten Bahnfläche, wie in Fig. 122 dargestellt ist, Л'eranlassung. Bei den con- 
linuirlichen Flächenräumen geschieht zwar ebendasselbe, jedoch kann hier der Ubergang der 
Bahnflächen offenbar zuweilen auch ein continuirlicher seyn. Um nicht schon gleich anfang- 
lich den Einfluss der Grenzwerthe beachten zu müssen, wollen wir voraussetzen, wir hätten 
vorerst nur mit unbegrenzten oder sich selbst begrenzenden Flächenräumen es zu thun, und 
weiter unten erst auf diese Beschränkung zurückkommen. * ' 
1) Diess vorausgesetzt, sey (1) die Gleichung für den Flächenraum und (2) jene iiir 
die Bahn des Punctes, und zwar: 
(1)*) у^/{а:)У^)^/Чх) und (2) у=Ф[х). 
Wendet man hierauf unsere bekannten Dislocations-Formeln If. an, d.h. setzt man in (1) statt 
') Da, wiewohl niclil nothweiulig, doch in ilen am liaufigslen vorkommenden Fällen die Doppelförmigkeit der 
Gleichungen solcher Figuren, die wieder in sicli zurückke rcn, in einer geraden ЛѴиггеІ ihren Grund hrt, 
so hätten wir auch stall 
schreiben können, wobei M und JV^ anfanglich als reine Functionen von x, nach ihrer sofortigen Behandlung- 
bis (r>) als solche von x' und t, za gelten häUen. — 
