658 Christ. Dopplers Versuch einer Enveitcruvg der analytischen Geometrie 
Gleichung des in vierfacher Bewegung begriffenen gedachten Objectes KLI für jeden Zeit- 
moment des Vorganges ist. 
1. Hat man sich auf dem bezeichneten Wege einmal die Gleichung (8) verschafft, so 
hat man Aveiter zu untersuchen, für welche Werthe von t die beiden Grenzwcrthe, d. h. die 
Disjunctivgleichung y — Ф{хі) w'h' [jc t) ein absolutes Maximum und Minimum gibt. Es seven 
diese Werthe von l — ^p[x) und t — \p'[a:), so erhält man, je nachdem diese Werthe aus dem 
einen oder andern Grenzwerthe entsprangen, die Gleichung (9) oder (10); 
(9). у-Ф (^, xp ix) ^ ^g? Ф' X, гр' (^) ^ ; (1 0). у rr Ф x, я/;' (x) ^ Ф' Çj, {x)^ 
Diess ist nun schon die Gleichung der Bahnfläche für das in vierfacher Bewegung begriffene 
Object KIL. 
3. Nun muss man sofort noch untersuchen, welchen gemeinschaftlichen Antheil diese 
Bahnfläche mit unserem in Buhe befindlichen Flächem-aum MISO habe. Dieses erfahrt man 
aber, wie schon früher gelehrt wurde, durch eine Untersuchung und Auflösung der vier 
Wechselgleichungen, nämlich von: 
1 ) (^{x) — Ф ix, xp [x)) ; 2) ff [x] — Ф' Qx, Ц)' [xj) ; 3) f// [х]]— Ф Çx, гр{х)'} ; i) Cf (x) — Ф (.т W (х) ). 
Von dem Umstände nun, ob sämmdiche, oder nur einige dieser Gleichungen, und 
welche unter ilmen mögliche Wurzeln darbieten , hängt die besondere Form der Gleichung 
des auf 3I1S0 abgegrenzten Flächcntheils ab, worüber bereits die nöthigen Vorschriften im 
§. 7 gegeben wurden. Die nöthigen Zeitbestimmungen für den Ein- und Austritt des Ob- 
jectes geschehen mit Hilfe der Gleichung (8) ganz nach Anleitung des 10. 
4. Wünscht man auch in Bezug auf das zweite Object KIL, den durch das wechsel- 
seitige Eindringen der beiden Flächenräume sich abgrenzenden Flächentheil auf analytischem 
Wege kennen zu lernen, so hat man, indem man hiezu die ganze Bewegung auf die Fläche 
NM О überträgt, und sich KLl in Iluhe denkt, ganz dieselben Bechnungsonerationen, mit 
blosser Vertauschung der beiden zum Grunde liegenden Hauptgleichungen (1) und (2^, d. h 
der Functionen (p (x) und q' [x] mit / (x) und [x], auszuführen. — Man sieht daher, dass 
dieses schwierige Problem im analytisch-geometrischen Sinne als vollkommen gelöst betrachtet 
werden darf. 
Von dieser Klasse von Betrachtungen, deren vollständige Erörterung gewiss keine 
unverdienstliche Arbeit wäre, wenden wir uns wieder zu Problemen anderer, wiewohl ver- 
wandter Art, wie unsere Leser aus dem Inhalte der näciisten Paragra])he sogleich erselien 
werden. 
13. 
Ju/gabc 11. Es bewege sich ein parabolischer Flächenraum cpq Fig. 128 dergestalt 
in einer Ebene, dass der Scheitel der Parabel eine logarithmische Curve als Bahn beschi eibt, 
wobei sich jene zugleich um ihren Scheitel о als Drehungspunct drehet. Die fortschreitende 
Bewegung des Punctes о in der Bahn sey eine solche, deren auf die Achse der x bezogene 
