666 Christ. Doppler' s Versuch einer Erweiterung der analytischen Geometrie 
oder umgekehrt x' und y' durch x und y ausdrücken, und man erhält dann folgende zwei 
Systeme von Formeln : 
(ß) I. ! ^'^^'-\-4^~_^^{y) und (7) II. 
Das erste System gehört zur Bestimmung der melamorphorisirten Grcnzwerthe, das zweite 
für die Functionsgleichungcn seihst. Um von dieser allgemeinen Déduction sogleich eine 
Anwendung zu zeigen, wollen wir folgendes Beispiel beifügen. 
Beispiel. Es sey Fig. 138, die Gleichung einer senkrecht stehenden parabolischen 
Fläche durch ihre Gleichung gegeben, und nebstbei jene eines Kreisbogens als Leitlinie- 
Man soll nun die Gleichung dieses Flächenraumes unter der Voraussetzung finden, dass 
deren sämmtliche Ordinalen sich parallel zur Leitlinie ÂD krümmen, und mithin als con- 
gruible Theile derselben angesehen werden können. Bezeichnet A die Höhe, und p den 
Parameter der Parabel, so ist ihre Gleichung bekanntlich (1) y = h — — ; die Gleichung 
P 
m 
ihrer Fläche dagegen, oder (2). y— (0.) 0* ~ ~3 ' der Leitlinie 
eines Kreisbogens ist bekanntUch: (ß.) y' — v — У"2г ^ — à'-; und somit das Integral des 
ßogens, nämlich : (4) y— Ф[^) — r arc. sin.— —rare. sin. wegen y' — v. Es ist aber nach 
P P 
Obigem noch überdiess árzz und vermöge der Gleichung (3) des Kreisbogens, wenn 
Í bestimmt wird : 
i — p У^р^ — y '2. Daherjrrzr^"' — p~¥-^p^ — y \ xiná y — p arc. sin.I- ; diese 
P 
Werthe in die Gleichung (1) gesetzt, geben p. uro. im. ■L. — h — ~í\ x' — p Ч^Ѵр^ — у"^ | s 
p p^^ ^ 
woraus sofort unmittelbar folgt: (5) x = p + \^pl — y'-±z \^ph-~pr arc. sin.t ■ die 
P 
Gleichung für die nach einer Kreiskrümmung gebogene parabolische Linie ACD. Da wir 
hier, um auf die Gleichung des Flächenraumes überzugehen, den Doppelwerth von y anzu- 
geben hätten, dieses aber bei dem gegenwärtigen Stande der Analysis im vorliegenden Falle 
noch nicht gelungen ist, so wollen wir uns der abweichenden, wiewohl eben so ricliigen 
Form bedienen, und schreiben: 1 
(6) X' = Çp-\- V"p2 _ _ 'Y'p h_p r arc. sin. ^ {J ^ 
Q)-{- Yp^ — y'"^ 4- \^ ph ~ pr arc. siii. 
welche in der That auch die wahre Gleichung der Fläche JCD ist. 
