670 Christ. Doppler' s Versuch einer Erweiterung der analytischen Geometrie 
4) (у_г,)2+(^г_|)2=(у'_г;') + (иг' — wegen Л/Ф = Лі' ; j, „ , 
5) v — Fii] I . I . • ,- г 
' \ , } Glcichunsen der апПіпігІісЬеп und der verîindertcn 'АсЬёе. ' 
G) ѵ'=Ф{і') 
( Da Ыег zwischen acht Veränderlichen sechs Gleichungen bestehen, ;so lassen sich 
diesélben vermöge ihrer BcschaiTcnheit, falls keine andern analytischen Schwierigkeiten dieses 
verhindern, stets auf zwei Gleichungen zwischen je dreien der Grössen y ; x', y' zurück- 
führen, wodurch man somit zu zwei Gleichungen von der Form дг — ф(д?',у^; y — f{x',y') 
und durch Bestimmung von cc' und 7j' zu zwei andern von der Form x'— q,' [л, у) und у' — /' [x,y) 
gelangt. Die erstem zwei dienen für die Formänderungen der |Functionsgleichungen selbst, 
die beiden andern für jene der constantcn Grenzen. 
Da aber die Durchführung der verlangten Rechnungsoperationen von der möglichen 
Integration zweier Functiotisausdrücke und von der Auflösung mehi-erer Gleichungen abhängt, 
so darf man sich freilich nicht wundern, wenn bei dieser grossen Allgemeinheit der Annalimen 
die Älittel, welche die Analysis nach ihrem dermaligen Zustande darzubieten vermag, in vielen 
Fällen unzureichend befunden werden. 
Gleichwohl kann es dem Leser kaum entgehen, 'dass wenigstens, was die verlangten 
Integi-ationcn anbelangt, jedenfalls sich eine unzählbare Menge von solchen Curven auffinden 
lässt, welche den genannten Bedingungen entspredien *). 
Eine zwar schon speciellere, jedoch noch immer sehr brauchbare Bedeutung erhält 
unsere Aufgabe durch die Annahme, dass die erste Achse eine gerade Linie, die zweite da- 
gegen, die in die erstere übergeht, was immer für eine Curve seyn soll. Da die Gleichung 
*) Bekamiilich haben schon Eitler, Lagrange und Andere allgemeine Vorschriften zur Auffindung rectiCcahler 
. . Curveu gegeben. Da es niir a!)er scheiirt, als ol) die nachfolgende von den bekannten wesentlich verschie- 
den wäre, so wild man es eulschuldigen, wenn ich, sie hier in Kürze anführe. Ist (x) eine solche Func- 
lion, dass sowohl <f{x)dx als auch — d. h. deren rcciproker ЛѴеПІі, integrabel ist: so ist die Curve, 
deren Gleichung Г" ^ \ 9 (x) dx— \ ^^'''^"'^'^ rectificabel, und die Länge eines be- 
liebigen Stückes davon liefert der Ausdruck — ^ î Ч (^) 'i ^ + î ^^~~^^^--~lstz.B.q[x)—3x—b. 
so hat man wegen (Зг - b') dx— l x~ ~ 5 x С und ^ — '—^'~il.(3x — 5) und daher: 
— I ^x — ll.(ßx — 5) 4- C, eine solche Curve und ihr allgemeines Integral des ßogens : 
/. — Jx^ — s x+ J /.(Зг — 5) -f С. — Olleres sey у (x) — ii«. midün ші. x d x ZZ — cos. x -\- С und 
/Ъ dx 
Ě — l.lcmg.^x, daher ist die recliEcable Curve у . tang. \ x cos. x С und 
sut. X 
/.— >^l.tan^,íx—cos.x+C.— Odec(f(^x)—\^px, also d хУ^ p x — lY^p.xi untl^^y—^—^ 
und somit die reclilicable Curve у ~ §У~р.х5 — 2 ""d ^Z: § + з'^/'-^. 
