67S Christ, Dopplers Ffrsuch einer Erivciterung der anaiijtischen Geovutric 
1) Man nehme als verlangte Achse die Knotenlinie SQ selbst an, und als Punct m 
den in der Achse der я: liegenden Punct N, Fig. 145, d.h. man setze ß' — 0, y'—O und man 
erhält sofort, der Fig. 146 entsprechend: 
(2) z — tang. о (ces. ту — sin.ců[x — «')), 
wobei also der Abstand AN—a' ist. 
In dieser Form gewährt die Gleichung der Ebene eine sehr leichte Anwendung und 
ist noch vollkommen allgemein, mit alleiniger Ausnahme derjenigen Fälle, wo die Ebene mit 
der Achse der x parallel laufen solle. So z. B. hätte man für о — (i'i^ ZV, ш— 23" 16' und 
a=:2ö'3, als Gleichung der betreffenden Ebene : r= 1-9П8001у — 0-827b38ix + 20-93672l9. 
2) Die Ebene laufe mit der Achse a- parallel. In diesem Falle hat man wegen м=0 
und somit si?i.w=z() offenbar, da man auch füglich y' — 0 setzen kann: 
(3) z-tang.QiQ{x-a)-\.{;y-ß)-), 
wofür man der Kih-ze wegen, auch schlechtweg z-=:tang. о {i/ — ß) schreiben kann. Ist ferner 
diese Ebene zugleich senkrecht auf die Ebene a: //, so ist wegen о zz 90° 
(4) . = 00 CO(^-«) + (y-ft)=g(^-«) + cc(y-/3)*), 
was mit der Natur der Sache vollkomnien übereinstimmt. 
Für alle von ß verschiedenen Werlhe von у erhält z den Werth oo , welches so viel 
heisst, als das in einem beliebigen Puncte ausserhalb der mit x parallellaufenden Knotenlinie 
en-ichtelc Perpendikel schneidet die Ebene nirgends. Setzt man dagegen y = ß, so erhält 
man r=:*î(jî — «)-f-30 — О — g(jr — «) + ö> mithin in jedem Falle selbst wenn x — a ist, unbe- 
stimmt, лѵеІсЬез seiner geometrischen Bedeutung nach so viel heisst, als in allen Punclen 
zwischen den etwaigen Gränzen von z. 
3) Steht die Knotcnlinic der Ebene auf x der Achse x senkrecht, so hat man als 
deren Gleichung wegen со^^ЭО": 
(5 ) z — tang. Q (rt — x) . 
Steht die Ebene selbst zugleich auf der Ebene xy und auch senkrecht auf x, so hat man 
aus der allgemeinen Gleichung, wegen Q — dO", wzz90" und 7 = 0: 
z-^iO{^-ß)~Olx-a)-)z:z^,0{y-ß — x-\-a)=o(y—ß^a-x) 
und da für alle Puncte dieser Ebene nothwendig x — a seyn muss, so hat man sofort für 
diesen Fall: (6) z — %[y—ß^. 
4) Soll die Gleichung einer Ebene, die mit xy parallel lauft, aufgestellt werden, so 
hat man bei unveränderten Werthen von со, о 0 zu setzen, dafür muss der Werth von 7' 
ein von Null verschiedener sevn, wenn die Ebene nicht in jener von xy liegen soll. Man 
hat unter dieser Voraussetzung : 
(Ij z — y'-\-4){ccs.a {y—ß)—sin.a)[x — dj) —y'. 
Es muss hier schliesslich bemerkt werden, dass es wohl bei numerischer Bestimmung der 
Endresultate, nicht aber schon bei den verschiedenen Ilechnungsoperationen und namentlich 
*) Da n.iinlich im vorlii'gemlcii Falle inng.ri mit cos.w zugleich unendlich wird, so darf oc.O nicht der Nwlle. 
sondern vielmehr dem g gleich erachtet werden. 
