676 Christ. Doppler s Versuch einer Erweiterung der analytischen Gecmrfrie 
Aufgabe Ó. Man soll vorerst die Gleichung einer ebenen, jedoch im Körperraume 
beiindliclien, übrigens beliebig begrenzten Figur finden; ferner von der gegebenen Gleichung 
einer solchen Figur im Räume auf jene in der Ebene der Figur selbst übergehen, und end- 
lich aus der Gleichung eines in der Ebene xij hegenden Gegenstandes die Gleichung des in 
eine beliebige Lage gebrachten Objectes darstellen. 
Es sey die Ebene, in welcher sich die Figur befinden soll, wieder eine solche, deren 
Lage durch die Coordinatcn eines Punctes «, ß, y im Räume, sodann durch ihren Neiguuijs- 
winkel zur Ebene X7j, und endlich durch den Winkel, den die Knotenlinie mit der Achse x 
macht, bestimmt wird. Ihre Gleichung ist demnach : 
( 1 ) z-=y-\- taug, cf (ces. ťo (y — ß) — sin. a[x — «)). 
Sollen hier л'оп sämmtlichcn Puncten, welche die unbegrenzte Ebene bilden, nur jene in Be- 
trachtung gezogen werden, deren Inbegriff eine Curve oder wie immer zusammengesetzte Figur 
ausmachen: so können begreiflicherweise die Variablen x und у nicht mehr beide als absolut 
veränderlich angenommen und eines jeden beliebigen Werthes fähig erachtet werden. Л'іе1- 
mehr muss zwischen x und у eine Abhängigkeit eintreten, welche sich durch eine Gleicliung 
(2) У=/И 
darstellen lässt. Es ist leicht einzusehen, dass diese Relation (2) ganz eigentlich der horizon- 
talen Projection angehört, und dass man somit als Gleichung des verlangten Gegenstandes: 
(3) — tang. Q sin. a (x — a) -\-^tang.Q cos.a)[y — /^) ^ ( A-^)) babe. 
Doch ist zu bemerken, dass wir, die Auflüsbarkeit der Gleichung y—y(x) vorausgesetzt, 
im Stande sind, wegen x=f~^ (y) obige Gleichung unter der meistentheils einfachem Form 
(4 ) z—f {x) (y) ^ darzustell en. 
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Der weitere Theil unserer Aufgabe lässt sich nun mit Hilfe der Dislocalionsformeln 
lösen Um den ersten Theil zu lösen, wollen wir von der Ansicht ausgehen, dass der an- 
föngliche Drehungspunct der Durchschnittspunct der Knotenlinie mit der Achse x, der vor- 
gelegte dagegen der Ursprung der Coordinatcn selbst seyn solle, und dass wir, nachdem wir 
die Ebene der Figur in der Ebene xy durch Drehung um ihre Knotenlinie herabgelegt haben, 
ihr noch eine solche Stellung in derselben anweisen, dass die Knotenlinie mit der Achse der 
X zusammenfallt. Dem gemäss haben wir in unsern Dislocalionsformeln des Raumes zu setzen: 
a' — O, ß — ß'=.0, y—y' — O, xp =.ip' — 0, (p' — O, (р~(я, und wir erhalten wegen: 
P~ccs.cù: — sin. a CCS, Q', R=isin.cosin.Q; 
P' — sin.o3\ Q' — CCS. a CCS. q; Л' ~ — ces, ы sin. ç; 
P"—0; Q"—sin.Q- R"—ccs.q; 
nachfolgende zwei Systeme von Dislocalionsformeln : 
