auf Grundlage eines neu einzuf ührenden Algcrichmus. 
687 
Hierauf hat man: 
e"") • • • • 
(5) z = [A,) ^ЛІ^ (Л œ Л) (^i) ^^'^ " ^^^^ ^ " " ^^^^ Í " ^^*^' 
• • • % 
als tíleichung der Oberfläche der genannten Pyramide. Ferner ergibt sich hieraus weiter: 
• • • • • 
• • • ♦ « 
als Gleichung des Körperraums dieser PjTamide, und endlich : 
• • • 
(1) z = (^j M^a) ^М^ІА 03 J^) со {В^ ш В^) ^.Y^ {В^ а В^) со (С, со С^) ^Р^ (С, ш С3) ; 
• • • 
als Gleichung für sämmtliche Kanten derselben, 
§. 30. 
Aufgabe 10. Es ist die Gleichung einer im Räume befindlichen, sich selbst begren- 
zenden Oberfläche gegeben. Man soU die Gleichungen für die horizontale und verticale Pro- 
jection dieses Objectes bestimmen. 
Oberflächen der genannten Art liefern für jeden bestimmten Werth von x und y 
wenigstens einen doppelten, zuweilen selbst mehrfachen Werth, und dieses geschieht durch 
die Vieldeutigkeit der Function als Werth von z. Es sey daher z — F[x, y) die Gleichung 
einer Oberfläche, so hat man nach dem früher Gesagten z. В.: 
(1) z-F[.r,y)=F'{x,y)coF"[x,y). 
Für jeden nun überhaupt möglichen Werth von x und у erhält man demnach für г, 
im Allgemeinen zwei verschiedene Werthe, und nur diejenigen Puncte der Oberfläche, zu 
denen die entsprechenden Ordinalen zugleich Tangenten sind, liefern nur einen oder vielmehr 
zwei gleiche Werthe. 
Man kann daher auch umgekehrt sagen, dass alle jene Werthe \on x und y, für 
welche man statt zwei verschiedene zwei gleiche Werthe erhält, nothwendig solchen Tan- 
girungspuncten entsprechen. Diese sind es aber, welche die horizontale Projection der Ober- 
fläche ihren Grenzen nach bestimmen. Um diese zu finden, hat man nun: 
(2) F [x, y) — F< [x, y) zu setzen, woraus sofort (3) y — cf [x) folgt. 
Diese Gleichung ist denn die horizontale Projection. Verlangt man die auf der Ober- 
fläche selbst liegende Begrenzungscurve, so hat man für dieselbe: 
(4) z-cf{x)^F[x.y)^. 
3n 
In allen jenen Fällen, wo die Gleichung (1) von einer Form, wie (ö) z — A-\- \^ В 
ist ; wobei А und В Functionen von x und у zugleich sind , hätte man demnach : 
A-{-\-B = A — Y d.h. 2\rß=0 oder (6) B — O. 
3Ian findet daher in allen diesen Fällen die verlangte Gleichung der Projection, wenn 
man den unter der Wurzel stehenden Ausdruck gleich Null setzt. Bestimmt man aus (1) y 
87 * 
