^ ац/. Çrundlage eines neu einzuführenden Algorühmusi, .\"^^ 
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Aufgabe 13. Man soll eine im Räume befmdhcEe und durch ihre Gleichung gege- 
bene krumme Fläche^ oder einen dergleichen Körperraum durch die Substitution formändern- 
der Formeln in die entsprechende Gleichung dergestalt verändern, dass deren sämmtliche 
Ordinaten, ohne ihre Fusspuncte zu verändern, eine gegebene Krümmung annehmen, d. h. 
mit einer als Directrix angenommen Curve im Räume parallel laufen. 
Es sey die Gleichung der gegebenen Oberfläche (denn jene eines Körperraumes hat 
gënau dieselben Veränderungen zu erleiden) die unter (Í) angeführte; ferner jene der Leit- 
linie die mit (2) bezeichnete, und endlich sey die unter (3) angeführte das Integrale des Bo- 
gens der letztern, welches wiewohl zunächst als Function von | und auftretend, gleichwohl 
mit Hülfe der Grenzgleichung von (2) sofort auch als Function von ^ allein dargestellt wer- 
den kann. , 
(1) z-F(^,,y), (2) f = (3P(|)^/(.)^ und (3) . = Ф(|). 
Vorerst hat mán mm zu untersuchen, welche die Coordinaten des Durchschnitts- 
punctes der Leitlinie mit der Ebene sc, y seyen, und dieses findet man leicht, wenn man ^zzd 
setzt und mittelst (2) die entsprechenden Werthe für v und | sucht. Diess geschieht durch 
Übertragung der Functionszeichen bei den Gleichungen und ^—J{y)'^ daher | = g)-* (г;) 
und und da ^ = 0 ist, so hat man v=/-*(0) und | = ç -» (/-»(0)). Wir wollen der 
Kürze wegen diese bekannten Werthe von v und | durch ß und a bezeichnen. 
Die Natur der Aufgabe fordert ferner, dass der von | — « bis genommene 
Werth des Integrals (3) und somit die Länge des Bogens S dem z als alleinigen Repräsen- 
tanten der Ordinaten gleich sey. Um daher das einem gewissen a: entsprechende | zu finden, 
hat man | zu bestimmen aus der Gleichung: 
■f =г=ф(|) — ф(«); also (4) f =:ф-'(г -f Ф(а)). 
Mittelst dieser letztern Gleichung und jener von (2) findet man noch weiter- 
(5) г;=:ф(ф-і(г + ф(«))3 und (6) ^-fУ(ф-^(z-\-Ф{a))У]. 
Die Gleichungen (4), (5) und (6) geben uns also für jedes z die Coordinaten eines 
gleich langen Stückes der Leitcurve von der Ebene xy an gerechnet. Da nun aber jede 
solche Ordinate z, wiewohl mit ihr congruiljel, doch nicht mit ihr zusammenfallen soll, viel- 
mehr ohne ihren Fusspunct 0 zu verlassen, mit ihr nur gleich laufen soll ; so ergibt sich hier- 
aus, dass noch folgende Beziehungen Platz zu greifen haben: 
i; 'Оііггі- y'-nv^y—ß und cc' =i-\-x— a\ 
oder mittelst Substitution von (4), (5), (6) : 
z' -fl(f Сф-'(2 H- Ф («)))] ; y' = y — ß^(í>Іф-^{z-\-ф («))) und д;' = á7 _ « -f ф- '(г + ф (а)) . 
Sucht man nun aus der ersten dieser drei Gleichungen durch Übertragung des Func- 
' onszeichens, d. h. durch Reversion den Werth von z, und substituirt ihn in die beiden an- 
derti, indem man zugleich und y sucht; so erhält man : 
